Zahlentheorie - Gleichung

07.03.2011, 23:42	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie - Gleichung Hallo, Ich hab heute aus Langeweile (und zur Ablenkung von der BWL-Abivorbereitung...) mal ein paar Zahlentheorie-Klausuren im Internet angeschaut, um so ein bisschen Vorgeschmack für das Studium zu Schnuppern (nun gut, ZT ist dann wohl erst ab dem 3. Semester, also in 2 Jahren, aber ich freu mich jetzt schon drauf, ...) und hab mich dann mal an folgender Aufgabe versucht: Sherlock Holmes und Dr. Watson fragen sich, ob es ganzzahlige Lösungen x und y der Gleichung $\begin{eqnarray} x^{2} - y^{2} - x + y = 10 \end{eqnarray}$ gibt; im Falle der Existenz geben sie sämtliche Lösungen an. Ich komme dabei auch recht gut auf ein Ergebnis, durch Umformung zu $\begin{eqnarray} (x-y)(x+y-1)=10 \\<br /> x+y= \frac{10}{x-y}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{10}{x-y} \end{eqnarray}$ muss Element der Teilermenge von 10 sein, also $\begin{eqnarray} (x+y) \in \{2,3,6,11\} \end{eqnarray}$ , außerdem weiß ich $\begin{eqnarray} y<x \end{eqnarray}$ womit folgt $\begin{eqnarray} y \in \{0,1,2,3,4,5\} \end{eqnarray}$ . Die Werte kann ich Einsetzen und komme dann auf die Paare $\begin{eqnarray} (6;5) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (4;2) \end{eqnarray}$ . So weit zu meiner Eigenleistung.... nur irgendwie kommt mir der letzte Teil nicht sehr "schön" vor, da ich eben alle 6 Werte einsetzen muss (wobei man bei 0 und 1 sofort sieht, dass es nicht geht, aber das ändert ja nichts an der Sache). Gibt es da eventuell eine schönere oder zumindest schematischere Lösung? Danke und Gruß Kai
07.03.2011, 23:48	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass ich Zahlentheorie gehört hab, ist schon - Gott sei Dank - ein paar Semester her. Und wie ich dieses Teilgebiet kenne, gibt es für diese Art von Gleichung eine ganze, abgefahrene Lösungstheorie. Google doch mal nach quadratischer diophantischer Gleichung, dann erhältst du da jede Menge Infos zu.

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