Konvergente Reihe

08.03.2011, 09:57

Strudl

Konvergente Reihe

Für welche a element aus R konvergiert folgende Reihe?

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(\ln(n)\sqrt[3]{n})^a} \end{eqnarray*}$

#######################################

Ideen, die noch nicht aufgegangen sind:

Da der ln und wurzel 3 von n immer positiv ist, kann ich auch direkt absolute konvergenz zeigen und somit a abschätzen.

-> Wurzelkriterium, Quotientenkriterium?

Oder andere Idee wäre das Integralkriterium?

Das Majoranten/Minorantenkriterium schließe ich aus, da ich es für a genau wissen will ab wann die Reihe konvergiert/divergiert.

Ich bitte um einen guten Anfangstipp :-)

08.03.2011, 10:00

klarsoweit

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RE: Konvergente Reihe
Ich würde es mal mit dem Verdichtungskriterium versuchen. smile

08.03.2011, 16:40

Strudl

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RE: Konvergente Reihe
Also die Reihe konvergiert dann wenn diese Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{(2^{n/3}*nln(2))^a} \end{eqnarray*}$

//Anwendung Verdichtugnskriterium

Habe ich das Verdichtugnskriterium richtig angewendet?

Dann habe ich diese zwei Folgen in der Summe stehen:

$\begin{eqnarray*} a(n):=(\frac{2}{2^{a/3}})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(n):=\frac{1}{(nln(2))^a} \end{eqnarray*}$

Da b(n) eine monoton fallende beschränkte Nullfolge ist,

konvergiert die Summe für alle a>3, da dann die geometrische Reihe konvergiert und somit die ganze Reihe nach Monotoniekriterium, oder?

//Ich muss aber leider einen Fehler haben, da mit TR die Reihe auch für a=2,5 konvergiert..

Bitte um Rat...

08.03.2011, 23:53

Manni Feinbein

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RE: Konvergente Reihe

Zitat:

Original von Strudl
Ich muss aber leider einen Fehler haben, da mit TR die Reihe auch für a=2,5 konvergiert..

Ein Taschenrechner hat bei Überlegungen dieser Art nichts zu suchen, was Deine falsche Schlussfolgerung sehr schön illustriert.

Für a=2,5 divergiert die Folge nämlich - wenn auch ziemlich langsam.

Und das belegt nicht etwa der Taschenrechner sondern vielmehr die verdichtete Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{(n\ln(2)2^{\frac n3})^a}=\frac 1{\ln(2)^a}\sum_{n=2}^\infty\frac{q^n}{n^a}\text{ mit }q:=2^{1-\frac a3}. \end{eqnarray*}$

09.03.2011, 11:19

Strudl

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Danke für alles!!!

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