Bestimmung lokaler Extrema

08.03.2011, 11:36

Pustefix91

Bestimmung lokaler Extrema

Guten Tag,

wollte fragen ob meine Argumentation so in Ordnung ist und wollte wissen was man verbessern kann. Würde mich freuen wenn jemand mal drüber schauen würde smile

.

Aufgabe: Bestimmen Sie die Lage aller lokalen Extrema von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R -> \mathbb R , f(x) = \begin{cases} \sqrt[3]*{x^{2}}log(x^{2}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Beh: f hat zwei lokale Tiefpunkte $\begin{eqnarray*} TP_{1}(-e^{-\frac{3}{2}}| -3e^{-1}), TP_{2}(e^{-\frac{3}{2}}| -3e^{-1}) \end{eqnarray*}$ und einen lokalen Hochpunkt $\begin{eqnarray*} HP(0|0) \end{eqnarray*}$ .

Bew:
(1) Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = 0 =f(0) \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
ist die Funktion als Produkt und Komposition, stetiger Funktionen stetig. Also ist f stetig.
(2) Der Graph der Funktion ist Achsensymmetrisch, da f(x) = f(-x).
(3) $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(\frac{2}{3}*log(x^{2})+2)}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0 \end{eqnarray*}$
(4) Da (2) gilt, reicht es nur das Intervall $\begin{eqnarray*} (0,+ \infty ) \end{eqnarray*}$
zu betrachten. Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +\infty } log(x) = + \infty \end{eqnarray*}$ und (1) gilt, ist f'(x) > 0 für $\begin{eqnarray*} x \in (e^{\frac{-3}{2} } , + \infty) \end{eqnarray*}$ und f'(x) < 0 für $\begin{eqnarray*} x \in (0, e^{\frac{-3}{2} } ) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ f hat einen Tiefpunkt bei $\begin{eqnarray*} x = e^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$ und einen zweiten bei $\begin{eqnarray*} x = -e^{\frac{-3}{2} } \end{eqnarray*}$ , da (2) gilt.
Desweiteren ist f'(x) > 0 für $\begin{eqnarray*} x \in (-e^{\frac{-3}{2} } , 0) \end{eqnarray*}$ und f'(x) < 0 für $\begin{eqnarray*} x \in (0, e^{\frac{-3}{2} }) \end{eqnarray*}$ . Also gibt es einen Hochpunkt bei x = 0.

Stimmen die Ergebnisse so weit? Wie sieht es mit der Argumentation aus? Was kann ich wie verbessern.

Schönen Gruß Pustefix91

08.03.2011, 12:04

tigerbine

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Vorab.
Wie soll die Funktion wirklich lauten? Das * unter der Wurzel ist irritierend.

08.03.2011, 12:13

Pustefix91

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Tschuldigung, der Stern kommt weg. also an der stelle $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^{2}}log(x^{2}) \end{eqnarray*}$ .

08.03.2011, 12:51

tigerbine

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Ok, dann Plotte ich uns das mal ein wenig.

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \to \mathbb R,\quad f(x):= \begin{cases} \sqrt[3]{x^{2}}\log(x^{2}) & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Log ist bei dir zu welcher Basis? Im Plotter ist das der ln.

Die obere Teilfunktion ist auf ihren Bereich wohldefiniert und als Produkt/Komposition stetiger Funktionen wieder stetig. Freude

Die Grenzwertbetrachtung ist auch korrekt. Somit ist die Funktion auf ganz IR stetig. Freude

Die Symmetriebetrachtung ist korrekt und somit reicht es sich z.B auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R+_0 \end{eqnarray*}$ in den weiteren Betrachtungen zu beschränken. Freude

Mit der Ableitung bin ich nicht einverstanden. Du kannst den Punkt x=0 nicht isolieren. Es ist |h|>0 und somit bist du immer auf den anderen Ästen und bildest dort den Grenzwert.

Bleiben wir nun erst mal im Fall 1, also x ungleich 0. Jedoch sollten wir hier aufpassen, und das innere "x²" mehr beachten. Es ist hier die Crux mit ungeraden Wurzeln aus einer negativen Zahl. So wie du es geschrieben hast ist es nicht "korrekt". Wenn du einen GTR hast, könnte es sein, dass er dir die Ableitung nicht plottet.

$\begin{eqnarray*} f'(x)_{|x>0} = \frac{\frac{2}{3}\cdot (\log(x^{2})+3)}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)_{|x<0} = \frac{\frac{2}{3}\cdot (\log(x^{2})+3)}{-\sqrt[3]{|x|} } \end{eqnarray*}$

Da wir lokale Extremstellen suchen, gehen die auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit Nullstellen der ersten Ableitung einher. Dort gibt es aber nur eine, die man durch

$\begin{eqnarray*} \log(x^{2})+3=0 \end{eqnarray*}$

ermittelt. Freude

Die Argumentation für Minimum gefällt mir nun wieder nicht. Was hat das "Verhalten für große x" damit zu tun, wenn ich mich für eine lokale Stelle und an ihr für eine ggf. kleine Umgebung interessiere? Hier sollte/könnte man die zweite Ableitung bemühen. Einsetzen liefert dann eine eindeutige Aussage.

Grenzwerttechnisch ist eher

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} f'(x) =\lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{2}{3}\cdot (\log(x^{2})+3)}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

interessant (Wir sind im Fall x>0!). Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, so ist ihre Ableitung punktsymmetrisch!

Hieraus ergeben sich dann noch Argumente, was man über den Punkt (0|0) sagen kann, wie man also erläutern kann, dass es sich um ein lokales Maximum handelt.

Wink

08.03.2011, 13:41

Pustefix91

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Zitat:

Original von tigerbine

Mit der Ableitung bin ich nicht einverstanden. Du kannst den Punkt x=0 nicht isolieren. Es ist |h|>0 und somit bist du immer auf den anderen Ästen und bildest dort den Grenzwert.

Bleiben wir nun erst mal im Fall 1, also x ungleich 0. Jedoch sollten wir hier aufpassen, und das innere "x²" mehr beachten. Es ist hier die Crux mit ungeraden Wurzeln aus einer negativen Zahl. So wie du es geschrieben hast ist es nicht "korrekt". Wenn du einen GTR hast, könnte es sein, dass er dir die Ableitung nicht plottet.

$\begin{eqnarray*} f'(x)_{|x>0} = \frac{\frac{2}{3}\cdot (\log(x^{2})+3)}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)_{|x<0} = \frac{\frac{2}{3}\cdot (\log(x^{2})+3)}{-\sqrt[3]{|x|} } \end{eqnarray*}$

Interessant. Sowas ist mir noch nie untergekommen bei einer Ableitung.

Zitat:

Dann geht der Grenzwert gegen +unendlich. Was genau sagt mir das? Inwiefern bringt mir diese Erkenntnis etwas?

Zitat:

Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, so ist ihre Ableitung punktsymmetrisch!

Hieraus ergeben sich dann noch Argumente, was man über den Punkt (0|0) sagen kann, wie man also erläutern kann, dass es sich um ein lokales Maximum handelt.

Wink

Darüber muss ich mir noch Gedanken machen. Vielen Dank für deine Hilfe.

Schönen Gruß Pustefix91

08.03.2011, 13:45

tigerbine

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Zitat:

Original von Pustefix91
Interessant. Sowas ist mir noch nie untergekommen bei einer Ableitung.

Ist eben durch die dritte Wurzel bedingt.

Zitat:

Dann geht der Grenzwert gegen +unendlich. Was genau sagt mir das? Inwiefern bringt mir diese Erkenntnis etwas?

Und im Gegenzug gegen -oo. Das sollst du für das lokale Maximum ausnutzen. Augenzwinkern

08.03.2011, 14:05

Pustefix91

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Bei einem Hochpunkt wechselt der Graph der Ableitung normalerweise vom positiven ins negative. Wobei an der Nullstelle der Hochpunkt liegt. Das ist in dem Fall x = 0. Sonst ist es meistens so, dass sich der Limes von beiden Seiten her annährt. Wenn man so möchte von den negativen Werten immer "aufwärts" und von den positiven immer "abwärts". Nun ist es hier so das der Limes unterschiedlich ist und die f'(x) auch divergiert. Heißt das die Ableitung in x = 0 gar nicht erstexistiert? Wenn doch wäre es ganz klar ein Hochpunkt, das sehe ich nun smile

aber ich frage mich ob dieser überhaupt existiert?

Schönen Gruß Pustefix91

08.03.2011, 14:11

tigerbine

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Die Funktion ist in x=0 nicht differenzierbar. Jedoch ist die Funktion stetig. Betrachten wir z.B. das Intervall [-0.1,0.1]. Auf [-0.1,0[ steigt die Funktion streng monoton, auf ]0,0.1] fällt sie streng monoton. Daher hast du in x=0 ein lokales Maximum.

08.03.2011, 14:17

Pustefix91

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Gut, danke. Eine letzte Frage habe ich dann aber noch. Wie stelle ich denn fest, dass die Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist?

Schönen Gruß Pustefix91

08.03.2011, 14:23

tigerbine

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Weil eben die beiden Grenzwerte der Ableitung (links und rechtsseitig) nicht übereinstimmen. Anderes Beispiel wäre die Betragsfunktion, wo wir einen die konkreten Werte -1 und 1 haben. Hier liegt ja sogar bestimmte Divergenz (+/-oo) vor.

08.03.2011, 14:27

Pustefix91

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Dann bedanke ich mich recht herzlich bei dir. Also Danke schön. smile

08.03.2011, 14:29

tigerbine

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Gerne. Viel Erfolg weiterhin. Wink

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