Transformation einer Zufallsvariable

08.03.2011, 13:44

Kerl

Transformation einer Zufallsvariable

Meine Frage:
hey,

ich sitze hier vor einer Aufgabe und weiß leider überhaupt nicht wie ich anfangen soll:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ . Man gebe für folgende Zufallsvariablen jeweils ihre Verteilungsfunktion in Abhängigkeit $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ an:
a)
$\begin{eqnarray*} Y_1 := 3X \end{eqnarray*}$

Die anderen Aufgaben sind ähnlich, teilweise schwerer.

Meine Ideen:
Ich hab leider gar keine Idee, und habe gehofft ihr gebt mir einen Schubs in die richtige Richtung. Stichwort wonach ich suchen muss? Ansatz des Lösungsweges?

Danke,
euer Kerl

08.03.2011, 14:28

Math1986

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RE: Transformation einer Zufallsvariable

Zitat:

Original von Kerl
Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ . Man gebe für folgende Zufallsvariablen jeweils ihre Verteilungsfunktion in Abhängigkeit $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ an:
a)
$\begin{eqnarray*} Y_1 := 3X \end{eqnarray*}$

Naja, gesucht ist die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{Y_1}(x)=P(Y_1\leq x) \end{eqnarray*}$
Überleg dir mal wie du das aus der Verteilungsfunktion für X berechnen kannst

08.03.2011, 14:37

Kerl

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Hey,

ich hab einfach mal für $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} P(Y_1 <= x) = P(3X <= x) = P(X <= \frac{x}{3}) = F_X(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?!

08.03.2011, 14:39

Math1986

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Zitat:

Original von Kerl
Hey,

ich hab einfach mal für $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} P(Y_1 <= x) = P(3X <= x) = P(X <= \frac{x}{3}) = F_X(\frac{x}{3}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?!

Ja das ist richtig smile

die anderen aufgaben gehen wohl genauso

08.03.2011, 14:43

Kerl

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Wow, danke für die Hilfe :-)

Bei Aufgaben wo explizit eine Verteilung (z.B. Exponentialverteilung) mit Zufallsvariable X gegeben ist, und nach der Verteilung der Zufallsvariable U = 3X - 1 gefragt wird, gehe ich da genauso vor?

08.03.2011, 16:10

Math1986

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Zitat:

Original von Kerl
Bei Aufgaben wo explizit eine Verteilung (z.B. Exponentialverteilung) mit Zufallsvariable X gegeben ist, und nach der Verteilung der Zufallsvariable U = 3X - 1 gefragt wird, gehe ich da genauso vor?

Ja, das Prinzip ist wie oben und $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ ist bekannt

11.03.2011, 08:47

Kerl

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Hi,

ich muss das Thema leider noch einmal aufgreifen.

Wie transformiere ich denn folgende Zufallsvariable?

$\begin{eqnarray*} Y_2 := X^2 + X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Y_2 = X^2 + X < x) = P(X \cdot (X + 1) < x) = P(X < \frac{x}{X+1}) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} = P(X < \sqrt{\frac{x}{-X}}) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich damit weitermachen? Das X auf der rechten Seite stört mich. verwirrt

11.03.2011, 09:37

Leopold

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Du mußt hier eine quadratische Ungleichung lösen, am besten mit quadratischer Ergänzung und Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} X^2 + X \leq x \ \ \Leftrightarrow \ \ X^2 + X + \frac{1}{4} \leq x + \frac{1}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( X + \frac{1}{2} \right)^2 \leq x + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt sind zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die rechte Seite negativ ist, also für $\begin{eqnarray*} x < - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , ist die Ungleichung unerfüllbar. Somit folgt:

$\begin{eqnarray*} F_{Y_2}(x) = P \left( Y_2 \leq x \right) = P \left( \left( X + \frac{1}{2} \right)^2 \leq x + \frac{1}{4} \right) = P( \emptyset ) = 0 \ \ \mbox{für} \ \ x < - \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Jetzt behandle den Fall, wo die rechte Seite der Ungleichung nichtnegativ ist.

14.06.2018, 09:05

try

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Guten Morgen,

habe den Thread gerade im Internet entdeckt und wollte fragen ob meine Lösung richtig ist?

$\begin{eqnarray*} x\geq -\frac{1}{4} \Leftrightarrow x + \frac{1}{4} \geq 0 \end{eqnarray*}$
Damit ergibt sich nun:
$\begin{eqnarray*} \left(X+\frac{1}{2} \right)^{2} \leq x+\frac{1}{4} \\<br /> \Leftrightarrow \left(X+\frac{1}{2} \right) \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}} \\<br /> \Leftrightarrow X \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Und demnach:
$\begin{eqnarray*} F_{Y_{2}}(x) = P(Y_{2} \leq x) = P\Bigg(\left(X+\frac{1}{2} \right)^{2} \leq x+\frac{1}{4}\Bigg) = P\Bigg( X \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}\Bigg) = F_{X} \Bigg(\sqrt{x+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}\Bigg) \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Vielen Dank für die genommene Zeit & Hilfe Wink

14.06.2018, 09:23

HAL 9000

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Wenn nichts weiter gegeben ist, müssen wir davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ beliebige reelle Werte annehmen kann, d.h. insbesondere auch negative.

Insofern ist die äquivalente Umformung von $\begin{eqnarray*} \left(X+\frac{1}{2} \right)^{2} \leq x+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ nicht einfach nur $\begin{eqnarray*} X+\frac{1}{2} \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ , sondern zunächst $\begin{eqnarray*} \left| X+\frac{1}{2} \right| \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ , was nach Betragsauflösung identisch ist mit der Doppelungleichung

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \leq X \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Es folgt für die Wahrscheinlichkeitsberechnung

$\begin{eqnarray*} F_{Y_2}(x) = P\left( -\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \leq X \leq \sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) = P\left( X\leq \sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) - P\left( X < -\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) = F_X\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) - F_X\left(-\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}{\color{red}-0} \right) \end{eqnarray*}$ .

Dabei soll $\begin{eqnarray*} F_X(t{\color{red}-0}) \end{eqnarray*}$ den linksseitigen Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ an der Stelle t kennzeichnen, d.h. ausführlich geschrieben $\begin{eqnarray*} F_X(t{\color{red}-0}) = \lim_{u\nearrow t} F_X(u) \end{eqnarray*}$ . Für stetige Zufallsgrößen ist das unerheblich, da hat man auch stetige $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ und kann auch

$\begin{eqnarray*} F_{Y_2}(x) = F_X\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) - F_X\left(-\sqrt{x+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$

schreiben. Für diskrete $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ indes hat $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ Sprungstellen, und wenn man da gerade eine "erwischt", ist diese sorgfältige Behandlung mit dem linksseitigen Grenzwert tatsächlich nötig.

14.06.2018, 09:36

try

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Ach Gott...da hab ich doch schon wieder den Fehler mit der "Äquivalenzumformung" bei Wurzeln gemacht geschockt

Aber jetzt ist mir soweit alles klar, vielen lieben Dank Wink

14.06.2018, 10:07

HAL 9000

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"Schon wieder" ? Das bezieht sich dann aber nicht auf einen Thread hier im Board, zumindest nicht in letzter Zeit. Augenzwinkern

14.06.2018, 10:24

try

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Nein, Nein, ich glaube hier im Board habe ich den Fehler vorher noch nicht gemacht smile

Das ist nur irgendwie seltsam, ich kann mich noch ziemlich genau an die 9. Klasse erinnern (und das ist schon einige viele Jahre her) als von meinem damaligen Mathelehrer darauf hingewiesen wurde, dass das Wurzelziehen bei einer Gleichung zu einem "Betrag" in der Gleichung führt. Und obwohl ich das in Erinnerung habe, mach ich es dennoch häufig falsch & das finde ich nicht wirklich optimal böse

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