Integrierbarkeit

08.03.2011, 14:04

Gast11022013

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Integrierbarkeit

Meine Frage:
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Sei $\begin{eqnarray*} f: S\to [-\infty,\infty] \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ integrierbar.

Dann gilt $\begin{eqnarray*} |f|<\infty \end{eqnarray*}$ fast überall.

Meine Ideen:
Zu zeigen ist doch, dass die Menge $\begin{eqnarray*} N:=\left\{s: |f(s)|=\infty\right\} \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge ist, also $\begin{eqnarray*} \mu(N)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Aber wie macht man das?

Ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht Teilmenge von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und gilt deswegen nicht: $\begin{eqnarray*} \int_N \! f \, d\mu \leq \int_S \! f \, d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ , weswegen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Nullmenge ist? unglücklich

unglücklich

08.03.2011, 15:03

zweiundvierzig

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RE: Integrierbarkeit

Zitat:

Original von Dennis2010
Ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ nicht Teilmenge von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und gilt deswegen nicht: $\begin{eqnarray*} \int_N \! f \, d\mu \leq \int_S \! f \, d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ , weswegen $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ Nullmenge ist? unglücklich

unglücklich

Ich sehe nicht, wie die Aussage daraus folgt.

Ein Lösungsweg ist z.B. die Tschebyschjow-Ungleichung: Für alle $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mu( \{ |f| \geq \alpha \} ) \leq \frac{1}{\alpha} \int |f| \mathrm d \mu \end{eqnarray*}$ .

08.03.2011, 15:04

Gast11022013

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RE: Integrierbarkeit
Ich habe einen Beweis für die Aufgabe gefunden, verstehe ihn aber nicht. Vielleicht kann ihn mir ja jemand erklären?

Beweis aus: "Einführung in die höhere Analysis", Dirk Werner, S.244:

Zitat:

Für alle n ist $\begin{eqnarray*} n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}}\leq |f| \end{eqnarray*}$ ; daher folgt (beachte $\begin{eqnarray*} \left\{|f|=\infty\right\}\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} n\mu(\left\{|f|=\infty\right\})=\int_S \! n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}} \, d\mu\leq \int_S \! |f| \, d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} \mu(\left\{|f|=\infty\right\})=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe sehr viel daran nicht:
Was ist das n?

Woraus besteht die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{|f|=\infty\right\} \end{eqnarray*}$ ? Aus den $\begin{eqnarray*} s\in S \end{eqnarray*}$ , für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} |f(s)|=\infty \end{eqnarray*}$ ?

Wieso gilt $\begin{eqnarray*} n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}}\leq |f| \end{eqnarray*}$ ?

08.03.2011, 15:18

zweiundvierzig

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Es ist $\begin{eqnarray*} \{ |f| = \infty \} = \{ x \in S \colon |f(x)| = \infty \} = \{ x \in S \colon |f(x)| \geq \alpha ~ \text{f.a. $\alpha \in \mathbb R $}\} =: N \end{eqnarray*}$

Das Vorgehen ist letztlich das gleiche, wie das von mir Vorgeschlagene.

Wie man $\begin{eqnarray*} n \chi_N \leq |f| \end{eqnarray*}$ begründet, ist nicht so schwer. Unterscheide dazu zwei Fälle.

Edit: Was $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist steht da ja. Wichtig am Ende ist dann auch, dass die entstehende Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt.

08.03.2011, 15:27

Gast11022013

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wie man $\begin{eqnarray*} n \chi_N \leq |f| \end{eqnarray*}$ begründet, ist nicht so schwer. Unterscheide dazu zwei Fälle.

Der 1. Fall ist doch, dass $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} n\chi_{N}(x)=n\cdot 1=n\leq |f(x)|=\infty \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ , N so, wie Du es im letzten Beitrag definiert hast.

Im 2. Fall, also $\begin{eqnarray*} x\notin N \end{eqnarray*}$ , N wie oben, steht auf der linken Ungleichungsseite 0.

Unklar ist mir noch diese Identität:

$\begin{eqnarray*} n\mu(\left\{|f|=\infty\right\})=\int_S \! n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}} \, d\mu \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 15:32

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Dennis2010
Der 1. Fall ist doch, dass $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} n\chi_{N}(x)=n\cdot 1=n\leq |f(x)|=\infty \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ , N so, wie Du es im letzten Beitrag definiert hast.

Im 2. Fall, also $\begin{eqnarray*} x\notin N \end{eqnarray*}$ , N wie oben, steht auf der linken Ungleichungsseite 0.

Genau.

Zitat:

Original von Dennis2010
Unklar ist mir noch diese Identität:

$\begin{eqnarray*} n\mu(\left\{|f|=\infty\right\}=\int_S \! n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}} \, d\mu \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt nach der Definition des Integrals für eine messbare Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset S \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} \mu(A) = \int_S \chi_A \mathrm d \mu \end{eqnarray*}$ .

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08.03.2011, 15:37

Gast11022013

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Da muss ich noch einmal nachfragen.

Wir haben den Integralbegriff in drei Schritten definiert:

1. für Treppenfunktionen

2. für positive meßbare Funktionen

3. für integrierbare Funktionen

Du schreibst "nach der Definition des Integrals": Welche Definition meinst Du?

08.03.2011, 15:47

zweiundvierzig

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Ja, diese Definition des Lebesgue-Integrals meine ich (übrigens sind im 1. Schritt eigentlich allgemeiner einfache Funktionen gemeint).

Was ist denn nach Schritt 1 konkret das Integral über die einfache Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Link verbessert.

08.03.2011, 15:59

Gast11022013

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Bildlich kann ich mir das ganz gut vorstellen.

Wenn zum Beispiel das Maß die Breite von A beschreibt, so beschreibt ja das Integral über die entsprechende Indikatorfunktion zwar eine "Fläche" über der Breite von A, da ja aber der Funktionswert dort immer 1 ist, kommt ja am Ende auch wieder die Breite von A heraus.

Ich weiß, das ist eine sehr, sehr schlechte Erklärung und keineswegs ausreichend, aber ich glaube, für mein Verständnis reicht das erstmal aus.

08.03.2011, 16:02

zweiundvierzig

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So weit so gut, aber ihr müsst ja konkret aufgeschrieben haben, was das Integral über eine einfache Funktion sein soll. Da eine charakteristische Funktion einfach ist, muss man darauf lediglich diese Definition anwenden.

08.03.2011, 16:07

Gast11022013

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Ja, das haben wir, wobei wir immer - anscheinend sehr ungenau, wie der Link zeigt - den Begriff der "Treppenfunktion" verwendet haben.

$\begin{eqnarray*} \int_E \! g \, d\mu=\sum_{j=1}^{n} \alpha_j \mu(A_j\cap E), A_j=\left\{g=\alpha_j\right\} \end{eqnarray*}$ .

08.03.2011, 16:11

zweiundvierzig

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Okay, und auf was reduziert sich diese ganze Summe nun im Falle von $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ als Integranden?

08.03.2011, 16:23

Gast11022013

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Also wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \mu(A) \end{eqnarray*}$ gesucht ist und $\begin{eqnarray*} A\subset S \end{eqnarray*}$ dann zählen bei der Summe ja nur die $\begin{eqnarray*} \alpha_j=1 \end{eqnarray*}$ und es ergibt sich gerade $\begin{eqnarray*} \mu(A)=\mu(A_i\cap S)+\mu(A_{i+1}\cap S)+...+\mu(A_n\cap S) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} A_k, k=i,...,n \end{eqnarray*}$ gerade die Mengen sind, die aus den Punkten bestehen, deren Funktionswert 1 ist.

Naja, etwas unsauber noch ausgedrückt. Aber so ungefähr.

08.03.2011, 16:34

zweiundvierzig

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Wieso zerlegst Du $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ überhaupt?

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Wegen $\begin{eqnarray*} \chi_A^{-1}(1) = A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int \chi_A \mathrm{d} \mu = 1 \cdot \mu(A) \end{eqnarray*}$ . Mehr passiert da nicht. smile

smile

08.03.2011, 16:42

Gast11022013

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Ja, das ist so natürlich sehr viel klüger.

Vielen Dank für Deine geduldige Hilfe! Wink

Wink

08.03.2011, 16:45

zweiundvierzig

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Gern geschehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ist Dir der Beweis der ursprünglichen Aussage denn nun klar?

10.09.2011, 12:08

Gast11022013

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RE: Integrierbarkeit

Zitat:

Für alle n ist $\begin{eqnarray*} n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}}\leq |f| \end{eqnarray*}$ ; daher folgt (beachte $\begin{eqnarray*} \left\{|f|=\infty\right\}\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} n\mu(\left\{|f|=\infty\right\})=\int_S \! n\chi_{\left\{|f|=\infty\right\}} \, d\mu\leq \int_S \! |f| \, d\mu<\infty \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} \mu(\left\{|f|=\infty\right\})=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe noch eine (vermeintlich blöde) Frage.

Wieso folgt aus alledem, dass $\begin{eqnarray*} \mu\left(\left\{\vert f\vert=\infty\right\}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ?

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