Vollst. Induktion - Umformungsproblem

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Aomx Auf diesen Beitrag antworten »
Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Hallo Leute,
ich übe grade für meine Mathe I Klausur im ersten Semester und bin an einer vollst. Induktions-Aufgabe hängen geblieben. Sie lautet wiefolgt:

Man zeige durch vollst. Induktion: Für jedes n >= 1 gilt:


So, Induktions-Anfang ist geschenkt und nach einigen Umformungen bin ich auf folgendes gekommen:


So, habe bereits selber versucht durch verschiedene Umformungen (links Brüche auf einen Nenner bringen, schauen ob sich was kürzt, war leider nicht der Fall) auf das Ergebnis der linken Seite zu kommen. Laut Wolfram-Alpha ist das Ganze aber true, wodurch eig. vorher beim Induktionsschritt kein Fehler aufgetreten sein kann. Hat jemand eine Idee, wie man umformen muss, damit man links das gleiche rauskriegt wie rechts?

Habe übrigens bei der vollst. Induktion immer wieder Probleme beim Umformen - der Rest klappt immer ohne Probleme, nur beim Umformen bleibe ich immer hängen. Gibt es da besimmte "Umformungs-Tipps", für Beweis-Anfänger wie mich :-D? Danke schon mal im Voraus!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Zitat:
Original von Aomx
Man zeige durch vollst. Induktion: Für jedes n >= 1 gilt:


So, Induktions-Anfang ist geschenkt und nach einigen Umformungen bin ich auf folgendes gekommen:
Damit wäre die Behauptung doch schon gezeigt smile Letzteres war doch zu zeigen
 
 
Aomx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Hi,
danke schon mal für die schnelle Antwort. Also ich weiß ja nicht, ob ich grade etwas voll verpeile, aber unser Prof meinte immer, dass wir es so umformen müssen, dass links das gleiche wie rechts steht, wenn ich das ganze in Derive reinhaue und umforme kommt folgendes raus:



Sowas in der Art sollte ich auch am Ende rauskriegen, weiß jemand wie man darauf kommt? verwirrt

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Zitat:
Original von Aomx


Sowas in der Art sollte ich auch am Ende rauskriegen, weiß jemand wie man darauf kommt? verwirrt
Es ist doch offenbar
Aomx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Hey,
jau das ist klar, also wie man von der rechten Seite auf das von Derive kommt :-)! Was für mich einfach unverständlich ist, wie man folgendes sehen kann:


Sprich: wie muss ich diesen riesigen Bruch umformen, um auf das Ergebnis zu kommen? Ich blicks irgendwie nicht ganz Hammer

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Zitat:
Original von Aomx
Was für mich einfach unverständlich ist, wie man folgendes sehen kann:


Sprich: wie muss ich diesen riesigen Bruch umformen, um auf das Ergebnis zu kommen? Ich blicks irgendwie nicht ganz Hammer
Also gut


wobei


Also Brüche auf gleichen Nenner bringen, addieren, kürzen mittels Polynomdivision.
Das sieht man nicht sofort, da muss man eben etwas rumrechnen
Aomx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Danke für die ausführliche Antwort! Genau das hatte ich selber versucht (also Brüche auf einen Nenner bringen) bin aber dann nicht darauf gekommen, dass man

das so schreiben kann - bzw. Brüche mittels Polynomdivision kürzen kann? Hatte das bisher immer bei Nullstellensuche angewandt, wobei man da wahrscheinlich auch nur eigentlich ein Nullstellenpolynom rauskürzt, wenn ich es grade mal überdenke. Vielen Dank schon mal für die Lösung Gott

edit:
ach, bevor ichs vergesse: gibts eventuell noch mehr solche "Umformungs-Tipps"? Ich mein, jetzt wo ich das mit der Polynomdivision gesehen habe, komm ich beim nächsten mal sicher schneller drauf - aber vielleicht braucht man aber nächstes mal ne ganz andere Umformung... eigentlich wäre es hilfreich solche Umformungs-Möglichkeiten mal im Gesamten zu betrachten, oder hängt es immer von Fall zu Fall ab und es gibt nichts "strukturelles" dabei?

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Zitat:
Original von Aomx
ach, bevor ichs vergesse: gibts eventuell noch mehr solche "Umformungs-Tipps"? Ich mein, jetzt wo ich das mit der Polynomdivision gesehen habe, komm ich beim nächsten mal sicher schneller drauf - aber vielleicht braucht man aber nächstes mal ne ganz andere Umformung... eigentlich wäre es hilfreich solche Umformungs-Möglichkeiten mal im Gesamten zu betrachten, oder hängt es immer von Fall zu Fall ab und es gibt nichts "strukturelles" dabei?
Nein, so generelle Tipps gibt es da nicht, das ist einfach Übungssache, und solche Umformungen können seehr langwierig werden
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aomx
ach, bevor ichs vergesse: gibts eventuell noch mehr solche "Umformungs-Tipps"? Ich mein, jetzt wo ich das mit der Polynomdivision gesehen habe, komm ich beim nächsten mal sicher schneller drauf - aber vielleicht braucht man aber nächstes mal ne ganz andere Umformung... eigentlich wäre es hilfreich solche Umformungs-Möglichkeiten mal im Gesamten zu betrachten, oder hängt es immer von Fall zu Fall ab und es gibt nichts "strukturelles" dabei?

Es klingt zwar wenig wissenschaftlich, dafür aber pragmatisch: Zumindest bei solchen Summenformeln weißt du doch, was am Ende rauskommen muss! Und mit einem Auge auf diesem Ergebnis sollten die nötigen Umformungen dann doch leichter von der Hand gehen! Ändert natürlich nichts dran, dass diese Umformungen korrekt sein müssen. Augenzwinkern
Aomx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollst. Induktion - Umformungsproblem
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von Aomx
ach, bevor ichs vergesse: gibts eventuell noch mehr solche "Umformungs-Tipps"? Ich mein, jetzt wo ich das mit der Polynomdivision gesehen habe, komm ich beim nächsten mal sicher schneller drauf - aber vielleicht braucht man aber nächstes mal ne ganz andere Umformung... eigentlich wäre es hilfreich solche Umformungs-Möglichkeiten mal im Gesamten zu betrachten, oder hängt es immer von Fall zu Fall ab und es gibt nichts "strukturelles" dabei?
Nein, so generelle Tipps gibt es da nicht, das ist einfach Übungssache, und solche Umformungen können seehr langwierig werden

Hmm, okay, dann werde ich wohl noch weitere Aufgaben der Sorte üben, sodass diese Umformungen in Herz und Blut übergehen - allemal spannender als damals in der Schule ist das Üben ja sowieso, da man endlich allgemein etwas beweist und nicht nur sinnfrei rumrechnet und bewiesene Sachen einfach anwendet.

Auch wenn die vollst. Induktion, soweit ichs grade in Erinnerung habe, ja nur auf Folgen von natürlichen Zahlen anwendbar ist (also abzählbare Zahlen-Reihen), sodass man natürlich limitiert in seinen Möglichkeiten ist...
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