Tangenteneinheitsvektor

08.03.2011, 16:24	space_bernsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangenteneinheitsvektor Meine Frage: Moin, Ich soll den tangenteneinheitsvektor bestimmen und hab eso gar keinen plan. gegeben habe ich : cos 3t; sin 3t; 2-t Meine Ideen: ich weiß das ich die erste ableitung durch die wurzel der ersten ableitung teilen muß. komme hierbei aber gar nicht weiter. für die erste ableitung komme ich auf: -3sin(3z); 3cos(3z); -1 Das ganze ist Teil zur berechnung eines begleitenden Dreibeins. danke für eure mühe
08.03.2011, 16:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Vogel fliegt entlang der Kurve $\begin{eqnarray} \vec x(t)=\begin{pmatrix} \cos(3t) \\ \sin(3t) \\ 2-t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Tangenteneinheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec t \end{eqnarray}$ ist die auf 1 normierte momentane Geschwindigkeit des Vogels, also die auf 1 normierte Ableitung der Flugbahn $\begin{eqnarray} \vec x(t) \end{eqnarray}$ nach der Zeit $\begin{eqnarray} \vec t=\frac{\frac{\partial \vec x}{\partial t}} {\left \| \frac{\partial \vec x}{\partial t} \right \|} \end{eqnarray}$ Leite also die 3 Komponenten nach der Zeit t ab und bilde diesen Quotienten.
08.03.2011, 16:57	space_bernsen	Auf diesen Beitrag antworten »
das ging aber schnell die Formel habe ich auch schon gefunden habe aber probleme die ableitung in diese zu setzen. Ableitung: -3sin(3t); 3cos(3t); -1 kannst du mir mal bitte sagen wie man die ableitung einsetzt.
08.03.2011, 17:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach den Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ ableiten. Das ergibt $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial t}=\begin{pmatrix} -3\sin(3t) \\ 3\cos(3t) \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bilde davon den Betrag gemäß der allgemeinen Formel $\begin{eqnarray} \|\vec x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \end{eqnarray}$ Dividiere beides zwecks Normierung auf 1.
08.03.2011, 17:05	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Norm eines Vektors im 3dimensionalen (besser gesagt, die 2-Norm) ist ja definiert als: $\begin{eqnarray} \left\|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right\| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray}$ Und für die a setzt du nun die Komponenten des Tangentialvektors ein.
08.03.2011, 17:11	space_bernsen	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich es einsetze komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} -3sin(3z) \\ 3cos(3z) \\ -1 \end{pmatrix} }{\sqrt{(-3sin(3z))^2}+(3cos(3z))^2+(-1)^2 } \end{eqnarray}$ aber wie mach ich jetzt weiter?
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08.03.2011, 17:13	space_bernsen	Auf diesen Beitrag antworten »
z=t hab ich mich verschrieben
08.03.2011, 17:29	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo genau Wobei ich den Vektor nicht in den Zähler eines Bruchs schreiben würde
08.03.2011, 17:33	space_bernsen	Auf diesen Beitrag antworten »
wie und das ist alles? mehr nicht?
08.03.2011, 17:46	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa, wenn du jetzt nachrechnest, wirst du herausfinden, dass dieser Vektor die Länge 1 hat. Und da im Vektor die Ableitungen stehen, ist es der Tangentialvektor.

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