E-Funktionsschar Schnittpunkt berechnen 12

08.03.2011, 18:44

joy93

E-Funktionsschar Schnittpunkt berechnen 12

Meine Frage:
Also folgende Funktion ist gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x)=(e^{x} -t)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=(e^{x} -s)^2 \end{eqnarray*}$ Es soll berechnet werden, ob ein Schnittpunkt beider Funktionen vorhanden ist, also: $\begin{eqnarray*} (e^{x} -t)^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (e^{x} -s)^2 \end{eqnarray*}$
es soll folgendes herauskommen: $\begin{eqnarray*} ln(\frac{s+t}{2} ) \end{eqnarray*}$ falls s+t > 0

Meine Ideen:
ich habe zunächste die wurzel gezogen und LN genutzt erhalte lediglich: x-ln(t)=x-ln(s) verstehe nun aber nicht, wie ich auf das obige Ergebnis kommen soll..

Vielen Dank im Voraus!

08.03.2011, 18:49

Elvis

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1. grober Fehler: Die Wurzel hast du falsch gezogen, dabei entstehen 2 Lösungen.
2. grober Fehler: Den Logarithmus hast du nicht sinnvoll angewandt.

08.03.2011, 18:55

ute17

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oh mist wie doof... ich probiers dann mal...

08.03.2011, 18:59

ute17

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Verstehe ich immer noch nicht... dann bekomme ich doch auch nur $\begin{eqnarray*} e^{x} -t \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{x} -s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -e^{x}+t \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} -e^{x} +s \end{eqnarray*}$ da ändert sich doch jetzt auch nicht so viel oder?

08.03.2011, 18:59

Elvis

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Tipp: $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2}=\pm a \end{eqnarray*}$
So wie du es machst, ist immer t=s. Das ist der einfache Fall.

Untersuche $\begin{eqnarray*} e^x-t=-(e^x-s) \end{eqnarray*}$ . Das ist die "bessere" Möglichkeit.

08.03.2011, 19:03

ute17

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ja das hab ich verstanden... also das man zwei Ergebnisse bekommt, wenn man die Wurzel zieht... also wenn man das so aufschreib wie du das gemacht hast würde ich ja bekommen $\begin{eqnarray*} \pm (e^{x} -t) = \pm (e^{x} -s) \end{eqnarray*}$ das verwirrt mich jetzt allerdings noch mehr... aber das ist doch dann bis dahin richtig oder nicht? ^^

08.03.2011, 19:04

ute17

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achso das darf man dann einfach machen?

08.03.2011, 19:06

Elvis

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Ja, das darf man/frau einfach machen, denn links und rechts kann man/frau das Vorzeichen beliebig wählen.

08.03.2011, 19:06

ute17

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ok jetzt bin ich auch auf das Ergebnis gekommen.... aber woher weiß ich denn, dass ich das einfach so machen darf... oder hat das jetzt irgendetwas mit dem falls s+t > 0 sind zu tun?

08.03.2011, 19:08

Elvis

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Nein, mit s+t>0 hat das nichts zu tun. Das musst du voraussetzen, weil du den Logarithmus (bisher) nur auf positive reelle Zahlen anwenden kannst.

08.03.2011, 19:11

ute17

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achso... und wenn mich jemand fragt warum ich die vorzeichen denn jetzt genau so gewählt habe... also hatte das einen grund? warum man jetzt genau die variante nimmt... woher weiß ich oder eher woher wusstest du, dass das die bessere ist?

08.03.2011, 19:13

Mystic

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RE: E-Funktionsschar Schnittpunkt berechnen 12
Nur als kleine Nebenbemerkung... Beim beiderseitigen "Wurzelziehen" aus

$\begin{eqnarray*} (e^{x} -t)^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (e^{x} -s)^2 \end{eqnarray*}$

erhältst du zunächst

$\begin{eqnarray*} |e^{x} -t|=|e^{x} -s| \end{eqnarray*}$

denn eine Wurzel kann niemals negativ werden (auch wenn immer wieder Gegenteiliges behauptet wird)... Erst nach Weglassen der Betragsstriche wird daraus dan

$\begin{eqnarray*} e^{x} -t=\pm(e^{x} -s) \end{eqnarray*}$

Einmal $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ auf einer der beiden Seiten genügt natürlich!

08.03.2011, 19:14

Elvis

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@ute17
Wir haben als freie Menschen freie Auswahl. Augenzwinkern

Wenn wir die Vorzeichen gleich wählen, ist s=t, das ist uns zu langweilig, denn dann stimmen die Funktionen völlig überein. Wenn wir die Vorzeichen verschieden wählen, kommt das interessante Ergebnis heraus.

08.03.2011, 19:18

Elvis

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@Mystic
Quadratwurzelziehen ist keine eindeutige Funktion, kann und muss zwei Werte ergeben, positiv und negativ. (siehe Funktionentheorie, Riemannsche Flächen).

08.03.2011, 19:19

ute17

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okay... das habe ich glaube ich verstanden smile

solange ich das nicht anderen erklären muss ist alles gut Big Laugh

Vielen Dank!

08.03.2011, 19:21

ute17

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also stimmt das mit dem betrag und so doch nicht?

08.03.2011, 19:21

Mystic

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Zitat:

Original von Elvis
@Mystic
Quadratwurzelziehen ist keine eindeutige Funktion, kann und muss zwei Werte ergeben, positiv und negativ.

Eben nicht, denn wäre Wurzelziehen mehrdeutig, wie du schreibst, dann wäre sie ja keine Funktion... Das ist also ein Widerspruch in sich! Du verwechselst das mit der Auflösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$

welche für a>0 tatsächlich zwei Lösungen besitzt!

@ute17
Klar stimmt das mit dem Betrag... Merk dir eines gut

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$

und nicht $\begin{eqnarray*} \pm a \end{eqnarray*}$ , wie man selbst an der Hochschule noch hin und wieder hört...

08.03.2011, 19:24

Elvis

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@Mystic
Wurzelziehen ist im Komplexen eine mehrdeutige Funktion, die auf der zugeordneten Riemannschen Fläche eindeutig wird. Im Reellen ist Wurzelziehen keine Funktion, da mehrwertig.

@ute17
Es stimmt alles, wir diskutieren die akademische Frage, was eine Funktion ist. Wurzelziehen kann jeder, und es kommen immer zwei Lösungen heraus.

08.03.2011, 19:25

ute17

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ok das versteh ich jetzt schon mal gar nicht mehr... wenn ich in der Schule dran komme sollte ich da jetzt was von Betrag reden oder es lieber weglassen? Big Laugh

08.03.2011, 19:29

Elvis

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@ute17
Mystic hat recht : $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2}=\pm|a| \end{eqnarray*}$
Elvis hat recht: $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2}=\pm a \end{eqnarray*}$

Das macht im Ergebnis im Reellen niemals einen Unterschied.

@Mystic
Selbstverständlich ist dein Ansatz im komplexen falsch, während meiner immer noch bestens funktioniert. Big Laugh

08.03.2011, 19:30

ute17

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ohne Betrag finde ich das aber definitiv leichter also lieber weglassen :P

Vielen Dank!

08.03.2011, 19:33

Mystic

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Sorry, aber Elvis hat unrecht, so leid es mir tut, denn es gilt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$

Herrgott, ist denn hier kein Moderator der auch Bescheid weiß und eingreifen kann, bevor ute17 so einen Unsinn glaubt?????

Siehe z.B.hier unter der Überschrift Eindeutigkeit der Wurzelfunktion...

08.03.2011, 19:33

Elvis

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@ute17
Vielen Dank für dein Vertrauen. Ich garantiere für die Richtigkeit. Freude

08.03.2011, 19:40

Mystic

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Zitat:

Original von Elvis
@Mystic
Selbstverständlich ist dein Ansatz im komplexen falsch, während meiner immer noch bestens funktioniert. Big Laugh

Wir sind hier im Reellen, und reelle Funktionen sind immer eindeutig, das ist Teil der Definition! geschockt

08.03.2011, 19:41

ute17

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irgendwie klingt das auch logisch das beides richtig ist... kommt doch eh auf das selbe hinaus...
naja mir solls im endeffekt egal sein...so wichtig ist das ja auch nicht^^

08.03.2011, 19:46

Mystic

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@ute17

Ja, es kommt ja auch zum Schluss dasselbe heraus, ich seh daher auch nicht, wo da das Problem ist... Es geht hier einfach um die richtige Sprechweise...

Überleg mal logisch, wenn in der Auflösungsformel für quadratische Gleichungen die Wurzel schon mehrdeutig wäre, warum schreibt man dann ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor die Wurzel, wie in

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

08.03.2011, 19:49

Elvis

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@Mystic
Du solltest aufhören, Wurzelziehen als reelle Funktion zu sehen. So kommst du nie auf zwei Lösungen der algebraischen Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2-a^2=0 \end{eqnarray*}$ . Die hat sie aber nach dem Fundamentalsatz der Algebra.

08.03.2011, 19:54

Mystic

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Doch komm ich, nämlich so

$\begin{eqnarray*} x^2=a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|=|a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\pm a \end{eqnarray*}$

komm ich auf die 2 Lösungen...

08.03.2011, 19:56

Elvis

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... und wie löst du $\begin{eqnarray*} x^2=-1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

08.03.2011, 20:00

Mystic

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Das Verfahren wie oben funktioniert im Komplexen nicht mehr, denn da gibt es keine eindeutige Wurzelfunktion mehr (manchmal nimmt man den sog. Hauptwert, aber das bringt hier nichts)... Daher würde ich das so machen

$\begin{eqnarray*} x^2=-1 \Rightarrow x^2+1=(x+i)(x-i)=0 \Rightarrow x=\pm i \end{eqnarray*}$

Edit: Kannst du mir vielleicht sagen, warum man in der Auflösungsformel für quadratische Gleichungen ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor die Wurzel setzt, wenn das schon Teil der Wurzel ist? verwirrt

08.03.2011, 20:02

Elvis

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Na geht doch. smile

Geht nur nicht mit Betrag. Augenzwinkern

08.03.2011, 20:13

Mystic

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@elvis

Ich verstehe übrigens auch nicht, warum du darauf beharrst, die Wurzelfunktion im Reellen und Komplexen gleich zu behandeln, also mehrdeutig, aber z.B. andere Funktionen, wie die Funktion w = ln z, welche im Komplexen nach der gleichen Logik unendlich vieldeutig ist, da nimmst du dann im Reellen die "eindeutige" Version? Aus welchem Grund?

08.03.2011, 22:04

ute17

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ich merk schon in spätestens 2 Jahren seit ihr euch einig :P

08.03.2011, 22:36

Bjoern1982

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@ ute17

Vielleicht nochmal ein etwas anderer Zugang.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (e^{x} -t)^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (e^{x} -s)^2 \end{eqnarray*}$

Substituieren wir mal $\begin{eqnarray*} e^x-t=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x-s=b \end{eqnarray*}$ , dann steht da ja sowas wie $\begin{eqnarray*} a^2=b^2 \end{eqnarray*}$

Nun überlege dir wann denn links und rechts dieselbe Zahl entsteht.
Das gilt natürlich einmal für b=a, denn a²=a² ist eine wahre Aussage.
Aber auch für b=-a klappt es denn (-a)²=(-1)²*a²=a²
Noch weitere Lösungen kann es nicht geben, da quadratische Gleichungen höchstens 2 Lösungen haben können.

Auch ein Blick auf die Normalparabel mit der entsprechenden Funktionsgleichung f(x)=x² scheint den Sachverhalt plausibel zu machen, denn sie ist ja symmetrisch zur y-Achse und daher gilt f(x)=f(-x) für alle x.

Weiterführend kann man sich dann auch mal etwas für den Fall a³=b³ oder allgemein die Fälle $\begin{eqnarray*} a^{2n}=b^{2n} \end{eqnarray*}$ ---> Potenzen mit geraden Exponenten bzw $\begin{eqnarray*} a^{2k+1}=b^{2k+1} \end{eqnarray*}$ ---> Potenzen mit ungeraden Exponenten mit k,n aus IN, überlegen.

08.03.2011, 22:47

Math1986

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Zitat:

Original von Elvis
Na geht doch. smile

Geht nur nicht mit Betrag. Augenzwinkern

Im Reellen gilt immer per Definition: $\begin{eqnarray*} \sqrt a \geq 0, \quad (a\in\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Hier noch schnell eine Skizze:

Wie wir also alle sehen verläuft die reelle Wurzelfunktion stets positiv

09.03.2011, 19:08

Elvis

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Hallo, Freunde.

Nach meinem Verständnis der Geschichte der Mathematik gehören reelle Funktionen einer reellen Veränderlichen in die Zeit nach Newton und Leibniz. Im 18. und 19. Jahrhundert war das bestimmt eine großartige Sache, wer mag darf auch heute noch im Rahmen der Analysis die relle Wurzelfunktion (eindeutig nichtnegativ auf nichtnegativen reellen Zahlen) benutzen.

Spätestens seit der Fundamentalsatz der Algebra um 1800 von C.F. Gauß (mehrfach) bewiesen wurde, gehören algebraische Gleichungen und insbesondere Wurzeln zur Algebra. Quadratische Gleichungen haben über algebraisch vollständigen Körpern zwei Lösungen, von daher ist stets $\begin{eqnarray*} \sqrt {a^2}=\pm a \end{eqnarray*}$ . Diese Schreibweise verträgt sich bestens mit der p-q-Formel.

Wer lieber wieder Funktionen mag, kann ja in komplexe Funktionen investieren, das ist auch sehr schön und verallgemeinert die rellen Funktionen in geeigneter Weise.

Eine einfachere Sichtweise der Wurzel als Funktion bietet auch $\begin{eqnarray*} \sqrt . :\mathbb R_+\to \mathbb P_2, a^2\to \{+a,-a\}\ \end{eqnarray*}$ von nichtnegativen reellen Zahlen in die reellen Teilmengen mit zwei Elementen.

Nichts davon ist falsch, jede Sichtweise hat ihre Vorteile. Ich wehre mich nur gegen die unnötige Verengung der Sichtweise auf den Spezialfall reeller Funktionen.

09.03.2011, 20:59

Mystic

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Hallo Elvis,

Ich fürchte, es wird zwar wieder nichts bringen, trotzdem möchte ich noch einmal Stellung zu der ganzen Sache beziehen, mehr in Ruhe und frei von der Bürde dem Anderen fast minütlich auf irgendein neues Argument zu antworten...

Zunächst ist es einmal grundsätzlich so - und damit sage ich dir sicher nicht Neues - dass Definitionen niemals wahr oder falsch sein können - sondern nur eben mehr oder weniger sinnvoll... Nun sind Wurzeln so eine wichtige und häufig vorkommende Sache in der Mathematik, dass sich schon viele Leute (darunter vermutlich auch viel klügere Köpfe als du und ich) sich Gedanken gemacht haben, wie man $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} \end{eqnarray*}$ für eine reelle Zahl definieren könnte und das Ergebnis ist so eindeutig und einhellig, dass man es einfach zur Kenntnis nehmen muss, außer man zieht es vor, grundsätzlich gegen den Strom zu schwimmen: Es lautet natürlich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} =|a| \end{eqnarray*}$

Ich habe dir gestern schon Links im Internet genannt, wie z.B. auf der Wikipedia, wo wirklich klipp und klar und unmißverständlich steht:

Zitat:

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{} \end{eqnarray*}$ grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung x2 = 4 die beiden Lösungen 2 und -2. Der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{4} \end{eqnarray*}$ hat jedoch den Wert 2 und nicht den Wert -2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten

$\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| \end{eqnarray*}$

Du kannst das natürlich noch Irrtum oder Irrweg desjenigen abtun, der diesen Wikipedia-Artikel geschrieben hat, aber du wirst in keiner seriösen Quelle was anders finden... Jeden Taschenrechner und natürlich auch jedes CAS wird dir $\begin{eqnarray*} \sqrt 4=2 \end{eqnarray*}$ ausgeben... Schau dir den Plot über deinem Posting zur Wurzelfunktion an, auch der hauseigene Plotter ist der Meinung, dass die Werte der Wurzelfunktion nichtnegativ sind...

Na, und dann gibt es noch die p-q-Formel für quadratische Gleichungen, welch du ansprichst... Schauen wir uns z.B. die Lösungen von $\begin{eqnarray*} x^2-3x+2=0 \end{eqnarray*}$ an... Nach deiner Theorei würde das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac 32 \pm \sqrt{\left(\frac 32 \right)^2-2}=\frac 32 \pm \sqrt{\left(\frac 12 \right)^2}=\frac 32 \pm (\pm \frac 12) \end{eqnarray*}$

Ist das nicht abgrundtief häßlich und vor allem: Macht das irgendwer so? Nein, natürlich nicht... Also warum sagst dann, das macht bei der p-q-Formel keine Probleme? verwirrt

Ok, kommen wir zu deinem Hauptargument, dass mit "meiner" Definition (also dann eigentlich der üblichen) der Wurzel die Verallgemeinerung auf komplexe Zahlen erschwert wird... Leider schon wieder falsch... Schauen wir dazu in obigen Wikipedia-Artikel nach, wie das üblicherweise dort gemacht wird:

Zitat:

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe) n-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:

$\begin{eqnarray*} z^{1/n} = \exp{\frac{\ln z}{n}} \quad (z\in\mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\mid x\leq0\}) \end{eqnarray*}$

Tja, speziialisiert auf den Fall n=2 heißt das nichts anderes, als dass man den sog. Hauptwert (von den 2 Lösungen jene mit kleinstem nichtnegativem Argument) nimmt, die andere bekommt dann wie im Reellen durch eine einfache Vorzeichenänderung...

Der absolute Horror ist aber dein Vorschlag

Zitat:

Original von Elvis
Eine einfachere Sichtweise der Wurzel als Funktion bietet auch $\begin{eqnarray*} \sqrt . :\mathbb R_+\to \mathbb P_2, a^2\to \{+a,-a\}\ \end{eqnarray*}$ von nichtnegativen reellen Zahlen in die reellen Teilmengen mit zwei Elementen.

wonach das Egebnis der Wurzelfunktion nicht einmal mehr eine Zahl (wenn auch mit zwei Vorzeichen!), sondern eine Menge wäre... Ich frage mich da wirklich: Meinst du das eigentlich ernst? böse

Zitat:

Original von Elvis
Nichts davon ist falsch, jede Sichtweise hat ihre Vorteile. Ich wehre mich nur gegen die unnötige Verengung der Sichtweise auf den Spezialfall reeller Funktionen.

Zwei Dinge dazu:

1. Ich sehe keine, aber auch wirklich keine Vorteile deiner Sichtweise.
2. Ich wehre mich ebenfalls gegen etwas, nämlich dagegen eine Sache unnötig zu verkomplizieren, für die es schon eine allgemein akzeptierte (s.o.) Lösung gibt, schon gar nicht in der Sektion Schulmathematik...

Trotz aller Diskrepanzen in dieser Sache aber nichts für ungut,
Gruß, Mystic Wink

09.03.2011, 21:13

Elvis

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Hallo Mystic,

ebenfalls nichts für ungut, aber hier prallen Welten der mathematischen Philosophie aufeinander. Ich gehe davon aus, dass du mir in dieser Frage nicht zustimmst und ich dir auch nicht. Wir können uns höchstens darauf einigen, dass beide recht haben oder keiner recht hat.

(Das mit der Funktion in die Potenzmenge meine ich absolut ernst, das zeigt doch, dass es ausser reellen noch andere Funktionen gibt, die hier ihren Zweck erfüllen).

10.03.2011, 13:53

Math1986

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Zitat:

Original von Elvis
Hallo Mystic,

ebenfalls nichts für ungut, aber hier prallen Welten der mathematischen Philosophie aufeinander. Ich gehe davon aus, dass du mir in dieser Frage nicht zustimmst und ich dir auch nicht. Wir können uns höchstens darauf einigen, dass beide recht haben oder keiner recht hat.

Das hat nichts mit mathematischer Philosophie zu tun, die Definition von Mystik ist die, die einheitlich verwedet wird, sowohl in Wikipedia als auch in jeder Universität...

Deine Definition ist schlichtweg deine eigene persönliche Definition, zeig mir doch mal ein einziges Lehrbuch wo die Wurzel so definiert wird wie von dir beschreben.

Da du die durchaus berechtigten Argumente von Mystik gekonnt igoriert hast werde ich darauf nicht mehreingehen

SO nun haben dir schon zwei Leute gesagt wiso deine Definition schlicht keinen Sinn hat

PS: Es können offensichtlich nicht beide von euch Recht haben, da sich beides ausschliesst... und hätte keine von euch Recht, wie wäre die Wurzel denn dann definiert? Das wäre dann ja was vollkommen anderes, eine dritte Definition ist mir nicht bekannt, zumindest keine die mit den bisherigen Rechengesetzen in inklang steht
Diese "Wir können uns höchstens darauf einigen, dass beide recht haben oder keiner recht hat." Argumentation ist doch albern, nichts für ungut Wink

Nachtrag: Ich möchte hier auch noch auf einschlägige Literatur verweisen:

Zitat:

Die zu $\begin{eqnarray*} c\geq 0 \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmte Zahl $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^m=c \end{eqnarray*}$ heißt m-te Wurzel von c, Notation: $\begin{eqnarray*} x=\sqrt[m]c \end{eqnarray*}$

Aus: "Einführung in die Analysis 1 (2. Auflage)", Winfried Kaballo, ISBN 3-8274-1033-9, Definition 9.9 auf Seite 80

Zitat:

Die Wurzel bei reellen Zahlen ist eine Funktion, die nur für positive Zahlen definiert ist, und stets positive Werte annimmt.

Aus: "Das gelbe Rechenbuch 1", Peter Furlan, ISBN 3-931645-00-2, Seite 141

10.03.2011, 14:46

lgrizu

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Ich bitte darauf zu achten, dass es um ein Thema geht, welches im Bereich Schulmathematik gepostet wurde, eine abstrakte Definition der Wurzel also nicht gefragt wurde, sondern lediglich nach den Lösungen einer Gleichung.
Der Hinweis, dass $\begin{eqnarray*} x^2=a \end{eqnarray*}$ die beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ hat, hätte vollkommen ausgereicht, um die Frage von joy bzw. ute zu beantworten.

Verdeutlichen kann man das im Schulbereich durch die einfach Erkenntnis, dass gilt $\begin{eqnarray*} (-a)^2=a^2 \end{eqnarray*}$ .

Ich bitte ferner darauf zu achten, dass man durch solche Fachdiskussionen auch schnell einen User abschrecken kann, der ab einem gewissen Punkt dann soundso nicht mehr mitkommt, gerade im Schulbereich.

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