Überprüfen, ob ein Vektorraum ein Unterraum ist

08.03.2011, 19:34

bbutzemann

Überprüfen, ob ein Vektorraum ein Unterraum ist

Hallo!

Bei folgendem Beispiel bin ich mir nicht sicher ob ich es richtig gerechnet habe...:

Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} U=\left\{ \vec x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb R ^4:x_1+2x_2+3x_3-7x_4=0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von IR^4 ist.

Mein Ansatz war folgender:

U ist ein Unterraum, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec u, \vec v \in U \Rightarrow \vec u + \vec v \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec u \in U, \lambda \in \mathbb R \Rightarrow \lambda\vec u \in U \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege ich mir 4 Vektoren mit den Komponenten x1...x4 für die die Ebenengleichung erfüllt ist, also zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \vec x_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec x_1=\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec x_1=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec x_1=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 4 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss gelten $\begin{eqnarray*} \vec x_1 +\vec x_2 + \vec x_3 +\vec x_4=\begin{pmatrix} 22 \\ 8 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$ , was stimmt, da die Ebenengleichung erfüllt ist.

UNd dann: $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda \vec x_1=\lambda \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda x_1+ \lambda 2 x_2+ \lambda 3 x_3 - \lambda 7 x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda (x_1+2x_2+3x_3-7x_4)=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, bzw hab ich damit gezeigt, dass ALLE vektoren in der Ebene ein UNterraum sind oder nur die 4 die ich gewählt habe?

Danke!

08.03.2011, 19:44

Elvis

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Mit Beispielen ist der Beweis nicht fertig. Nimm allgemeine Vektoren (a,b,c,d) und (e,f,g,h), die die Gleichung erfüllen und betrachte deren Summe und skalare Vielfache.

08.03.2011, 19:45

MatheMathosi

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Du hast das jetzt nur für einzelne Vektoren gemacht. Ich glaube auch nicht ganz richtig wenn ich das so sehe verwirrt

.

Du musst ja die 3 Unterraumkriterien nachweisen.
Also
$\begin{eqnarray*} <br /> 0 \in U \\<br /> v,w \in U \ dann \ auch \ v+w \in U \\<br /> \lambda \ \in \mathbb{K} \ und \ u \in U \Rightarrow \ \lambda \cdot u \in U <br /> \end{eqnarray*}$

Probier das doch erstmal für die Null.

08.03.2011, 19:58

zweiundvierzig

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Im übrigen eine Bemerkung zum unglücklichen Threadtitel: Per Definition ist jeder Vektorraum, der Teilmenge eines Vektorraums ist, ein Unterraum von diesem. (Jeweils bezüglich der gleichen Vektoroperationen natürlich.)

08.03.2011, 20:10

bbutzemann

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Erstmal Danke für die Antworten smile

Bezüglich des dritten Kriteriums (Nullvektor ist Element des Unterraumes): Ist der in diesem Beispiel nicht auf jeden Fall ein Element von U, da die Ebene ja durch den Ursprung geht?

@Elvis: Ich steh glaub ich grad ein bisschen auf der Leitung, aber wie bilde ich allgemeine Vektoren die die Gleichung erfüllen?

08.03.2011, 20:16

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von bbutzemann
Bezüglich des dritten Kriteriums (Nullvektor ist Element des Unterraumes): Ist der in diesem Beispiel nicht auf jeden Fall ein Element von U, da die Ebene ja durch den Ursprung geht?

Man hat die Wahl zwischen zwei Axiomen: der Unterraum soll eine nichtleere Menge sein. Dann enthält er einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ aufgrund der übrigen Axiome auch $\begin{eqnarray*} v + (-v) = 0 \end{eqnarray*}$ , was notwendig dafür ist, ein Vektorraum zu sein. Oder man fordert von vorneherein gleich, dass die 0 enthalten ist. Irgendwas musst Du dazu aufschreiben, sprich mindestens einen Vektor angeben, der die Gleichung erfüllt und dafür bietet sich ja der Nullvektor als triviale Lösung an.

Zitat:

Original von bbutzemann
@Elvis: Ich steh glaub ich grad ein bisschen auf der Leitung, aber wie bilde ich allgemeine Vektoren die die Gleichung erfüllen?

Du musst da nichts konstruieren, sondern wie Ehos gesagt hat, zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ betrachten. Dann willst Du $\begin{eqnarray*} x + y \in U \end{eqnarray*}$ zeigen. Und hierbei kommen die Annahmen $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$ ins Spiel.

08.03.2011, 20:38

bbutzemann

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ok, also
$\begin{eqnarray*} \vec x + \vec y = \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ x_4+y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann in die Gleichung einsetzen?
$\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+2(x_2+y_2)+3(x_3+y_3)-7(x_4+y_4)=(x_1+2x_2+3x_3-7x_4)+(y_1+2y_2+3y_3-7y_4)=0 \end{eqnarray*}$

Ist das so gemeint?

08.03.2011, 20:56

zweiundvierzig

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Ja, genau. Analog gehst Du zur Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation vor.

Man kann das ganze allerdings auch noch allgemeiner sehen, wenn man Matrizen kennt. Dann gilt $\begin{eqnarray*} U = \ker ( (1, 2, 3,-7) ) =\left \{\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4 \end{pmatrix} \in \mathbb R^4 \colon (1,2,3,-7)\cdot \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\x_4 \end{pmatrix} = 0 \right \} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist der Kern eines transponierten Vektors, der als Matrix aufgefasst wird. Und Kerne von Matrizen sind immer Vektorräume.

Edit: TeX korrigiert.

08.03.2011, 21:42

bbutzemann

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Skalarmultiplikation:

$\begin{eqnarray*} \lambda x = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda x_1 +2\lambda x_2 +3 \lambda x_3 -7 \lambda x4=\lambda ( x_1 +2x_2+3x_3-7x_4)=0 \end{eqnarray*}$

Und dann noch überprüfen, ob der Nullvektor die Gleichung erfüllt
$\begin{eqnarray*} 0+2\cdot 0+3\cdot 0-7\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Und die Sache hat sich?

08.03.2011, 21:46

zweiundvierzig

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Richtig. Beim Aufschreiben solltest Du aber einzelne Schritte (auch, wenn sie nicht tiefsinnig erscheinen) genau begründen. Z.B. solltest Du schreiben, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt wird und explizit, dass die Identität $\begin{eqnarray*} \lambda(x_1 + 2x_2 + 3x_3 -7 x_4) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, da $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in U \end{eqnarray*}$ angenommen ist.

08.03.2011, 22:04

bbutzemann

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ok, ich glaub ich habs kapiert smile

Vielen Dank für Deine Hilfe!

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