Hilfe bei einer Aufgabe (Drehung im R3)

30.11.2006, 18:22	Bassmarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfe bei einer Aufgabe (Drehung im R3) hier mal die aufgabe: Gegeben sei die Drehung f(x,y,z) = (-z,x,-y). a) Drehachse und Drehwinkel bestimmen! b) Zeigen sie, dass die Drehung die Hintereinanderausfürung einer Drehung um die x-Achse , einer Drehung um die y-Achse und einer Drehung um dir z-Achse ist. Berechnen sie Drehwinkel für diese Drehungen (Cardan - Winkel). so ich hab schon in meinem Mathebuch und im Internet geschaut aber nix tollen bzw. verständliches gefunden. Deshalb würde ich mich freuen wenn mir jemand von euch hier weiterhelfen könnte. Vielen Dank im voraus
30.11.2006, 22:25	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich würde mal damit anfangen einen vektor zu zeichnen und ihn dann zu drehen... am besten du machst das mal mit den einheitsvektoren... mfG 20
02.12.2006, 14:55	Bassmarian	Auf diesen Beitrag antworten »
so hab mir das mal überlegt: da f(x,y,z)=(-z,x,-y) -> x=-z -> x=y=-z z $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ so und nun kann ich ja den richtungsvektor direkt ablesen: (-1,-1,1) Drehachse hat die form: $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ =t(-1,-1,1) so das hab ich jetz selber heraus bekommen aber wie deht es mit dem dreh winkel weiter?
02.12.2006, 15:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Hier stand Unsinn ... mY+
02.12.2006, 15:56	Bassmarian	Auf diesen Beitrag antworten »
mh wie du darauf kommst verstehe ich nicht so ganz.... also ich habe mir überlegt dass, $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -z \\ x \\ -y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist und daraus folgt für mich das x' und y' den wert -z "bekommen". ist das soweit richtig vom Gedankengang her? Vielleicht könntest du ja mal deinen Rechenweg bzw. deine Überlegungen detaliert posten? Gruß Bass
02.12.2006, 17:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, da habe ich mich vertan, du hast Recht. Zuerst einmal zum Verständnis der Funktion. In dieser Abbildung werden den alten Koordinaten (x;y;z) eines Punktes die neuen Koordinaten (-z; x ; -y) zugeordnet. x' -> -z y' -> x z' -> -y In Matrixschreibweise $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In den Spalten dieser Matrix sieht man, was passiert, wenn man die Drehung nacheinander auf den Einheitsvektor der x-, y- und z-Achse anwendet, also die neuen Lagen dieser Einheitsvektoren. Du kannst dazu auch eine kleine Demo ansehen. Die Drehung kann demgemäß als Hintereinanderausführen von 3 Einzeldrehungen, um + 90°, -90°, -90° um die drei Koordinatenachsen x, y, z angesehen werden. mY+
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