Satz von Fubini

30.11.2006, 18:23

Seb17

Satz von Fubini

Guten Abend, bräuchte für folgende Aufgabe wohl ein wenig Hilfestellung ...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mbox{Zeigen Sie, dass }\int_{0}^{\infty}~e^{-x^2}~dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\mbox{ und zwar mittels des Satzes von Fubini.} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegungen bis jetzt sind, dass ich das Integral irgendwie auf ein Doppelintegral bringen muss, um dann den Satz von Fubini anwenden zu können, komme allerdings nicht so recht weiter und wäre über für jede Hilfe dankbar ... Augenzwinkern

MfG, Seb17

30.11.2006, 19:37

Seb17

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Weiß keiner weiter?

30.11.2006, 20:05

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

30.11.2006, 22:56

Seb17

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Aber welcher Zusammenhang besteht denn hier (siehe Link) zwischen

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-y^2}~dy \end{eqnarray*}$

und dem Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int\int_{\mathbb{R}^2}~e^{-(x^2+y^2)}~dxdy=\pi? \end{eqnarray*}$

Wer nett, wenn jemand mir das aufbröseln könnte ... Augenzwinkern

Bzw. wie müsste der Ansatz mit obiger Aufg.stellung lauten?

MfG Seb17

30.11.2006, 23:08

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MSS hat doch einen ganz guten Link geliefert. Alternativ noch was von mir, was allerdings nicht ganz dasselbe Integral betrifft:

Erwartungswert Gauß-Funktion (Integration)

30.11.2006, 23:19

Mathespezialschüler

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Steht doch relativ eindeutig bei Leopold: Es gilt nach dem Satz von Fubini:

$\begin{eqnarray*} \int~\int_{\mathbb R^2}~\operatorname e^{-(x^2+y^2)}~\mathrm dx~\mathrm dy=\int_{\mathbb R}~\left(\int_{\mathbb R}~\operatorname e^{-x^2}\cdot \operatorname e^{-y^2}~\mathrm dx\right)~\mathrm dy \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \gamma=\int_{-\infty}^{\infty}~\operatorname e^{-x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray*}$ ist dies

$\begin{eqnarray*} =\int_{\mathbb R}~\operatorname e^{-y^2}\cdot \left(\int_{\mathbb R}~\operatorname e^{-x^2}~\mathrm dx\right)~\mathrm dy=\int_{\mathbb R}~\operatorname e^{-y^2}\cdot \ \gamma~\mathrm dy=\gamma \int_{\mathbb R}~\operatorname e^{-y^2}~\mathrm dy=\gamma\cdot\gamma=\gamma^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du den Satz von Fubini nur für kompakte Mengen hast, musst du das natürlich alles noch etwas formalisieren, d.h. auf endliche Integrationsmengen zurückführen und dann einen Grenzprozess durchführen.

Gruß MSS

05.12.2006, 22:14

Seb17

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Mir ist alles klar, was ihr geschrieben habt, bei meiner konkreten Aufgabenstellung weiß ich allerdings nicht, WIE ich das zeigen soll; ich darf ja nicht benutzen, dass

$\begin{eqnarray*} \int\int_{\mathbb{R}^2}~e^{-(x^2+y^2)}~dxdy=\pi. \end{eqnarray*}$

Bitte um Weterhilfe Augenzwinkern

05.12.2006, 22:19

Mathespezialschüler

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Ganz genau so wie hier.

Gruß MSS

05.12.2006, 23:42

Seb17

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Okayokay

Sag' mal, wann kommt eigentlich die Polarkoordinatentransformation in Bezug auf Integrale vor? Sagt mir recht wenig (bin im dritten Semester) ... Aber Stochastik I ist ja auch aus dem Hauptstudium vorgezogen, dann darf ich das sicher verwenden Augenzwinkern

MfG, Seb17

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