Beweis absolute Konvergenz

09.03.2011, 10:42

Pustefix91

Beweis absolute Konvergenz

Guten Tag,

es geht um folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ absolut konvergent und $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ eine beschränkte, reelle Folge. Beweisen Sie, dass dann auch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k}b_{k} \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert.

Nun ich würde mich freuen, wenn jemand über meinen Beweis Mal drüber schauen würde. Ist meine Argumentation richtig? Was lässt sich verbessern? Was ist falsch?

Bew: $\begin{eqnarray*} (b_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists c \in \mathbb R :|b_{k}|\leq c \leq |c| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ ist absolut konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_{0} \in \mathbb N \forall n > n_{0}: | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}| -a | < \frac{\epsilon}{|c|} \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Wähle $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ wie oben, dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n > n_{0} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}*b_{k}| - a*|c|| \le | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}|*|c| - a*|c|| \le | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}| - a|*|c|< |c| * \frac{\epsilon}{|c|} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Wäre echt super wenn jemand Mal drüber schaut.
Schönen Gruß Pustefix91

09.03.2011, 11:08

Ibn Batuta

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Ich würde hier das anders schreiben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ ist absolut konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_{0} \in \mathbb N \forall n > n_{0}: | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}| -a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Und später erst $\begin{eqnarray*} \epsilon:=\frac{\epsilon*}{|c|} \end{eqnarray*}$ wählen. Ansonsten sehe ich keinen Fehler, würde aber andere auch nochmal drüber schauen lassen. Augenzwinkern

Dein Beweis geht übrigens viel kürzer. Du weißt, daß $\begin{eqnarray*} (b_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Dann $\begin{eqnarray*} \exists c>0 \text{ mit } |b_k|<c \ \forall k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Mittels Majorantenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}\cdot b_k|<\sum\limits_{k=0}^\infty |a_k|\cdot c=c\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty |a_k| \end{eqnarray*}$

Damit haben wir eine konvergente Majorante und auch gleichzeitig bewiesen, daß dieses Produkt absolut konvergent ist.

Ibn Batuta

09.03.2011, 11:11

Pustefix91

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Zitat:

Original von Ibn Batuta

Dein Beweis geht übrigens viel kürzer. Du weißt, daß $\begin{eqnarray*} (b_k)_{k\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Dann $\begin{eqnarray*} \exists c>0 \text{ mit } |b_k|<c \ \forall k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Mittels Majorantenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}\cdot b_k|<\sum\limits_{k=0}^\infty |a_k|\cdot c=c\cdot \sum\limits_{k=0}^\infty |a_k| \end{eqnarray*}$

Damit haben wir eine konvergente Majorante und auch gleichzeitig bewiesen, daß dieses Produkt absolut konvergent ist.

Ibn Batuta

Oh man. Danke Big Laugh

09.03.2011, 13:02

sergej88

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RE: Beweis absolute Konvergenz
Hallo,

$\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}*b_{k}| - a*|c|| \le | \sum\limits_{k=0}^\infty |a_{k}|*|c| - a*|c|| \end{eqnarray*}$

mit diesem Schritt wäre ich ohne weiteres so nicht einverstanden. Du kannst im Betrag die Monotonie nicht nutzen, das ist im allgemeinen falsch.

nutze den Tipp/Definition, dass eine Reihe absult konvergent ist, wenn die Summe der Beträge konvergiert.

mfg

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