Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

09.03.2011, 10:46	WTler42	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Hallo erstmal an Alle! Ich bereite mich gerade auf eine mündliche Prüfung in Wahrscheinlichkeitstheorie vor und bleibe an einem scheinbar trivialen Beweis im Skript einfach hängen. Ich kann mir nicht erklären warum folgendes richtig ist. Es geht um die fast sichere Eindeutigkeit des Grenzwertes bei Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Also: Aus Xn --> X (in W.keit) und Xn --> X' (in W.keit) folgt X=X' f.s. Beweis: Die Behauptung soll folgen, da P(\|X - X'\| > epsilon) <= P(\|Xn - X\| > epsilon/2) + P(\|Xn - X'\| > epsilon/2) f.a. n>=1 und Epsilon >0 gelten soll. Wahrscheinlich ist das total trivial und auch nicht wichtig. Ich versteh aber einfach diese Ungleichung nicht. Die linke Menge liegt doch nicht zwangsläufig in der Vereinigung der rechten oder sehe ich das falsch? Man kann natürlich die W.keit mit der Dreiecksumformung vergrößern. Dann hat man: ...<= P(\|Xn-X\| + \|Xn-X') > epsilon). Aber wenn man das jetzt auseinanderzieht, was die rechte Seite ergeben würde, verkleinert man die W.keit doch wieder. Denn die Situation, dass die Summe dieser einzelnen Abstände größer als epsilon ist, bedingt doch nicht, dass die einzelnen Summanden größer als epsilon/2 sind, oder? Ich glaub ich steh total auf dem Schlauch und hoffe mir kann jemand helfen . Ich danke im voraus Gruß
09.03.2011, 11:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist die Ungleichung richtig. Wenn man die vollständige Schreibweise nutzt, erhält man : $\begin{eqnarray} P(\{\omega \in \Omega : \|X(\omega) - X'(\omega)\| > \varepsilon\} ) \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} \omega_0 \in \{\omega \in \Omega : \|X(\omega) - X'(\omega)\| > \varepsilon\} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \|X(\omega_0) - X'(\omega_0)\| > \varepsilon \end{eqnarray}$ dann ist aber mit Sicherheit auch $\begin{eqnarray} \|X(\omega_0) - X'(\omega_0)\| > \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray}$ und damit folgt $\begin{eqnarray} \omega_0 \in \left\{\omega \in \Omega : \|X(\omega) - X'(\omega)\| > \frac{\varepsilon}{2}\right\} \end{eqnarray}$ damit gilt natürlich $\begin{eqnarray} \{\omega \in \Omega : \|X(\omega) - X'(\omega)\| > \varepsilon\}\subseteq \left\{\omega \in \Omega : \|X(\omega) - X'(\omega)\| > \frac{\varepsilon}{2}\right\} \end{eqnarray}$
02.05.2011, 13:37	xoto	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Dreiecksungleichung gilt natürlich $\begin{eqnarray} \left\{ \| X-X^\prime \| > \varepsilon \right\} \subseteq \left\{ \| X-X_n\|+\|X^\prime-X_n\| > \varepsilon \right\} \end{eqnarray}$ Falls nun für ein $\begin{eqnarray} \omega \in \left\{ \| X-X^\prime \| > \varepsilon \right\} \end{eqnarray}$ gilt, dass weder $\begin{eqnarray} \omega \in \left\{ \| X-X_n \| > \frac{\varepsilon}{2} \right\} \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \omega \in \left\{ \| X^\prime-X_n \| > \frac{\varepsilon}{2} \right\} \end{eqnarray}$ , würde folgen, dass $\begin{eqnarray} \omega \notin \left\{ \| X-X_n\|+\|X^\prime-X_n\| > \varepsilon \right\} \end{eqnarray}$ . Dies ist jedoch ein Widerspruch zur ersten Inklusion. Damit erhält man, dass $\begin{eqnarray} \omega \in \left\{ \| X-X_n \| > \frac{\varepsilon}{2} \right\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \omega \in \left\{ \| X^\prime-X_n \| > \frac{\varepsilon}{2} \right\} \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten $\begin{eqnarray} \left\{ \| X-X^\prime \| > \varepsilon \right\} \subseteq \left\{ \| X-X_n \| > \varepsilon \right\} \cup \left\{ \| X^\prime -X_n \| > \varepsilon \right\} \end{eqnarray}$

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