Fluss durch Zylinderoberfläche

09.03.2011, 09:46	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Fluss durch Zylinderoberfläche Hallo, ich möchte einen Klassiker gerade berechnen doch es hakt grad: Gegeben Vektorfeld mit $\begin{eqnarray} \vec{F} (x,y,z)=\begin{pmatrix} ye^z \\ -xe^z \\ e^{z\sqrt{x²+y²}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und Zylinder: $\begin{eqnarray} K: x²+y²\leq a² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray}$ mit Oberfläche S. Berechnen Sie a) $\begin{eqnarray} div \vec{F} \end{eqnarray}$ b) den Fluss von $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ durch S nach außen c) den Fluss von $\begin{eqnarray} rot \vec{F} \end{eqnarray}$ durch S nach außen zu a) Wäre ja $\begin{eqnarray} div \vec{F}= sqrt{x²+y²}e^{z\sqrt{x²+y²}} \end{eqnarray}$ b) Kann man ja über die direkte Berechnung des Oberflächenintegrals über ein Vektorfeld machen gemäß wiki-link Oder über den Satz von Gauss, also über $\begin{eqnarray} \int\int\int div \vec{F} dV \end{eqnarray}$ Dazu habe ich ja die Divergenz berechnet und muss nun meinen Zylinder in Zylinderkoordinaten beschreiben, also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} r cos\phi \\ r sin\phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0\leq \phi \leq 2\pi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0\leq z\leq 1 \end{eqnarray}$ . Dazu benötige ich ja noch die Funktionaldeterminante von Zylinderkoordinaten, die da wäre: $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ Insgesamt also nun : $\begin{eqnarray} \int\int\int div \vec{F} dV=\int_0^a \int_0^{2\pi}\int_0^1 \sqrt{x²+y²}e^{z\sqrt{x²+y²}} * r ~~~dz d\phi dr \end{eqnarray}$ Die Frage stellt sich mir nun, wie ich die x und y jetzt wegbekomme, muss ich dafür nun meine Parameterdarstellung jeweils einsetzen, quasi $\begin{eqnarray} x= rcos\phi \end{eqnarray}$ ? Wäre ja ziemlich aufwendig... Für Tipps und Tricks freue ich mich Gruuß Physi
09.03.2011, 09:55	B12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fluss durch Zylinderoberfläche x^2+y^2 = r^2
09.03.2011, 10:17	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok aber was ist, wenn das ganze mal nicht so schön rauskommt, muss ich dann wirklich obige Parametrisierung einsetzen?
09.03.2011, 12:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Man muss immer die Parametrisierung im Integranden einsetzen. Das kann zu komplizierten Integranden führen. Um dies zu vermeiden versucht ja gerade, "optimale" Koordinanten zu finden - also Kugelkoordinaten bei Kugeln, Zylinderkoordinaten bei Zylindern usw. Wie in deinem Beispiel führt dies zu einer starken Vereinfachung der Rechnung. Manchmal kann man auch gewisse Symmetrien ausnutzen. Zum Beispiel könnte es sein, dass durch die Deckfläche des Zylinders die gleiche Menge abfließt, wie durch die Grundfläche hineinfließt. Dann würden sich beide Teilflüsse gegenseitig aufheben und müssten gar nicht explizit berechnet werden usw.
09.03.2011, 15:47	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
top antwort, danke

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