L(A) - Verständnisfrage

09.03.2011, 14:27

Gast11022013

L(A) - Verständnisfrage

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine nur sehr kurze Frage:

Man beweise oder widerlege: Für $\begin{eqnarray*} f,g\in L^1(A) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (A\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ offen), gilt $\begin{eqnarray*} f\cdot g\in L^1(A) \end{eqnarray*}$ .

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} L^1(A) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
...

09.03.2011, 14:35

zweiundvierzig

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Das sind die Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \int_A |f| \mathrm d \mu < \infty \end{eqnarray*}$ .

Allgemeiner definiert man L^p-Räume.

Edit: Der Vollständigkeit halber: Oft meint man mit $\begin{eqnarray*} L^1(A) \end{eqnarray*}$ den oben erklärten Raum modulo den Funktionen, die $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sind, denn auf diese Art ist $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert_1 := \int_A |f| \mathrm{d} \mu \end{eqnarray*}$ nicht nur eine Halbnorm, sondern eine Norm, d.h.: $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert_1 = 0 \iff f = 0 ~ \text{$\mu$-f.ü.} \end{eqnarray*}$ Man meint dann mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eigentlich nicht genau die Funktion sondern die wie eben erklärte Äquivalenzklasse.

09.03.2011, 14:40

Gast11022013

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Also die Lösung soll sein (zum Beispiel: )

Widerlegung:

$\begin{eqnarray*} A:=(0,1)\subset \mathbb R^1, f(x)=g(x):=1/\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe das nicht.

Wie sieht man, dass $\begin{eqnarray*} f,g\in L^1(A), f\cdot g=1/x \notin L^1(A) \end{eqnarray*}$ ?

Vielleicht grafisch:

Will mir nicht klar werden.

09.03.2011, 15:04

Mazze

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Hast Du zweiundvierzig's Beitrag ordentlich gelesen ?

Zitat:

Das sind die Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \int_A |f| \mathrm d \mu < \infty \end{eqnarray*}$ .

Um also zu zeigen dass f und g (was hier ja die gleichen Funktionen sind) zu $\begin{eqnarray*} L^1(A) \end{eqnarray*}$ gehören musst Du

$\begin{eqnarray*} \int_A |f| d\mu < \infty \end{eqnarray*}$ und

zeigen. Analog ist natürlich

$\begin{eqnarray*} f \notin L^1(A) \end{eqnarray*}$

wenn

$\begin{eqnarray*} \int_A |f| d\mu = \infty \end{eqnarray*}$

ist. Sprich für f*g ist genau das zu zeigen.

09.03.2011, 15:12

Gast11022013

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Ich habe das in dem Beitrag gelesen, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann.

$\begin{eqnarray*} \int_A |f| d\mu=\int_A |1/ \sqrt{x}| d\mu=\int_A \frac{1}{|\sqrt{x}|} d\mu \end{eqnarray*}$ Aber weiter...

09.03.2011, 15:20

Mazze

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Ich bin erstaunt dass Du eine Aufgabe die Verständnis von Maßtheorie verlangt bekommst, und nicht mal einen Ansatz liefern kannst. Auf kompakten Mengen haben Lebesgue und Riemannintegral den gleichen Wert. Eine kompakte Menge wäre etwa [0,1] und da {0,1} eine mü-Nullmenge ist gilt also

$\begin{eqnarray*} \int_{(0,1)}f(x) dx = \int_{[0,1]}f(x) dx = \int_{[0,1]} f d\mu = \int_{(0,1)}f d\mu \end{eqnarray*}$

Mit anderen Worten, im Fall A = (0,1) ist

$\begin{eqnarray*} \int_A |f| d\mu = \int_A |f(x)| dx \end{eqnarray*}$

Und das Riemannintegral kannst Du wohl lösen.

09.03.2011, 15:23

Gast11022013

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Dieses Wissen habe ich nicht, ich verstehe Deine Erklärung daher leider nicht.

09.03.2011, 15:27

Mazze

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Wenn Du dieses Wissen nicht hast, wieso bekommst Du so eine Aufgabe?

09.03.2011, 15:31

Gast11022013

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Dass ich dieses Wissen nicht habe, bedeutet ja nicht, dass es nicht behandelt wurde.

09.03.2011, 15:35

Mazze

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Dann wäre der erste Schritt wohl dieses Wissen nachzuholen. Aber abgesehen davon, warum solltest Du das Riemannintegral

$\begin{eqnarray*} \int_A |f(x)| dx \end{eqnarray*}$

nicht lösen können? Das lernt man doch mit unter sogar in der Schule.

09.03.2011, 15:36

Gast11022013

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Naja, wie auch immer, jedenfalls:

$\begin{eqnarray*} \int_A |f(x)| dx=2<\infty \end{eqnarray*}$

Mit der Nullmenge meinst Du vermutlich, dass einzelne Punkte für das Integral keine Rolle spielen und daher $\begin{eqnarray*} \mu(0)=0, \mu(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \int_A |1/x| dx=\infty \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} f\cdot g\notin L^1(A) \end{eqnarray*}$ .

Ich versuche doch gerade, dieses Wissen nachzuholen, sonst hätte ich wohl kaum nachgefragt.

09.03.2011, 15:39

Mazze

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Zitat:

Mit der Nullmenge meinst Du vermutlich, dass einzelne Punkte für das Integral keine Rolle spielen und daher $\begin{eqnarray*} \mu(0)=0, \mu(1)=0 \end{eqnarray*}$ .

Besser : $\begin{eqnarray*} \mu(\{0\}) = 0 , \mu(\{1\}) = 0 \end{eqnarray*}$ (Ein Maß bildet Mengen auf die positiven reellen Zahlen ab).

Rest ist richtig.

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