Verteilungsfunktion der Binomialverteilung anwenden

09.03.2011, 15:33

kurellajunior

Verteilungsfunktion der Binomialverteilung anwenden

Hi,

wikipedia gibt mir für die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} I_{1-p}(n - \lfloor k \rfloor, 1 + \lfloor k \rfloor) \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wie tippe ich das denn in meinen TR/Tabellenkalkulation/Computerprogramm ein? (p,n und k seien bekannt smile

)

10.03.2011, 09:07

kurellajunior

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Menno, irgendjemand muss doch wissen, wie man daraus ein $\begin{eqnarray*} f(k)=... \end{eqnarray*}$ macht?

10.03.2011, 09:18

Huggy

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RE: Verteilungsfunktion der Binomialverteilung anwenden

Zitat:

Original von kurellajunior
Hi,

wikipedia gibt mir für die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} I_{1-p}(n - \lfloor k \rfloor, 1 + \lfloor k \rfloor) \end{eqnarray*}$ verwirrt

Wie tippe ich das denn in meinen TR/Tabellenkalkulation/Computerprogramm ein? (p,n und k seien bekannt smile

)

Die Binomialverteilung ist fast immer direkt bekannt. In Excel würdest du z.B. eingeben

= Binomvert(k;n;p;wahr)

Beim TR musst du halt ins Handbuch schauen. Aber unter Binomialverteilung, nicht unter Betafunktion.

10.03.2011, 09:25

kiste

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Zitat:

Eine nach $\begin{eqnarray*} B(\cdot\mid p,n) \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ heißt ''binomialverteilt'' mit den Parametern $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Damit hat sie die Verteilungsfunktion : $\begin{eqnarray*} F_X(x)=\operatorname P(X\le x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}\binom nk p^k (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Aus dem ersten Absatz von Wikipedia.

10.03.2011, 10:54

kurellajunior

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Danke erstmal. Ja Excel kann das für mich. Gehen wir davon aus, ich hätte kein von intelligentes Tool.
Und ja Kiste, soweit war ich auch, nur ist $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ nix, was sich mal eben so einfach eintippen oder programmieren lässt. Mir ist schon klar, wie ich es berechne - ich suche nur einen Weg um die Summation aller $\begin{eqnarray*} P(X\le x) \end{eqnarray*}$ zu vermeiden, da dies bei großen n einfach zu rechenaufwendig und damit zu "teuer" aus Algorithmischer Sicht wird.

Weiter unten wird ja die Annäherung durch die Normalverteilung beschrieben:
$\begin{eqnarray*} B(k \mid p,n)\approx\Phi\left({k-np\over\sqrt{npq}}\right)-\Phi\left({k-1-np\over\sqrt{npq}}\right) \approx {1\over\sqrt{2\pi npq}}\,\cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}} \end{eqnarray*}$

Ist meine Annahme korrekt, dass ich nun "lediglich" $\begin{eqnarray*} F(s)=\int_0^s\!\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\,dk \end{eqnarray*}$ benötige?

$\begin{eqnarray*} F(s)&=&\int_0^s\!\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\cdot e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\,dk\\<br /> &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\int_0^s\! e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\,dk\\<br /> &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left[-\frac{k-np}{npq} e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\right]_0^s \qquad \text{mööp}\\<br /> &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\left(-\frac{s-np}{npq} e^{-\frac{(s-np)^2}{2npq}}+\frac{-np}{npq} e^{-\frac{(np)^2}{2npq}}\right)\\<br /> &=&\frac{1}{npq\sqrt{2\pi npq}}\left(-(s-np)e^{-\frac{(s-np)^2}{2npq}}-npe^{-\frac{(np)^2}{2npq}}\right)\\ \end{eqnarray*}$

hmm das sieht nicht richtig aus:

Stammfunktion der Normalverteilung? Die muss doch auch in der Wiki stehen *geht mal gucken*

10.03.2011, 10:59

kurellajunior

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http://forum.web-z.net/images/smilies/ditsch.gif Abgeleitet statt integriert Hammer

Wie lautet denn $\begin{eqnarray*} F(s)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\int_0^s\! e^{-\frac{(k-np)^2}{2npq}}\,dk \end{eqnarray*}$ ?

10.03.2011, 11:05

Huggy

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Das Integral über die Dichte der Normalverteilung ist nicht mittels der üblichen elementaren Funktionen in geschlossener Form darstellbar. Deshalb gab es in der Vorrechnerzeit Tabellen der Normalverteilung.

10.03.2011, 11:11

kurellajunior

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Zitat:

Original von Huggy
Das Integral über die Dichte der Normalverteilung ist nicht mittels der üblichen elementaren Funktionen in geschlossener Form darstellbar. Deshalb gab es in der Vorrechnerzeit Tabellen der Normalverteilung.

Du meinst also: "Geht nicht!" unglücklich

Das find' ich jetzt aber mal doof.

10.03.2011, 11:15

Huggy

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Wenn du das, was die heutigen Rechner eh "wissen", nicht benutzen willst, musst du es selbst programmieren. Bei der Normalverteilung kann man z. B. die Taylorreihe der Dichte gliedweise integrieren.

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