Darstellungsmatrix und Transformationsmatrix

09.03.2011, 16:57

niko_graz

Darstellungsmatrix und Transformationsmatrix

Meine Frage:
Hallo!!

Habe da ein nettes Beispiel und finde einfach meinen Fehler nicht!!:

"Gegeben sei eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ : R³->R³. Die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bzgl. der Standardbasis E3=(e1,e2,e3) des R³ mit e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T und e3=(0,0,1)^T lautet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie, dass das untenstehende Triple B von Vektoren eine Basis des R³ ist:

B:=( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ).

b) Bestimmen sie die Darstellungsmatrix M1 der Abbildung \lambda bzgl. der Basis B und die Transformationsmatrix S mit M1=S^-1MS

Meine Ideen:
zu a)
Ist kein Problem, ich überprüfe einfach ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Das sind sie, und 3 linear unabhängige Vektoren des R³ sind auch eine Basis des R³

zu b)
Zuerst muss man ja die Darstellungsmatrix (=Abbildungsmatrix) M1 bestimmen, ich glaube hier liegt mein Fehler:
gegeben ist ja M bezüglich der Einheitsmatrix. Also ist folgendes dann richtig:
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (e1) = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
völlig analog bei e2 und e3

damit suche ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (b1), $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (b2), und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (b3)
also $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (b1) = 2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (e1) + 2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (e2) + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (e3)
analog bei b2, b3

Dann komme ich auf die Lösung M1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

S bestimme ich einfach mit den Koordinatenvektoren von B. Also
S= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich aber S^-1 ausrechne und alles in die Gleichung M1=S^-1MS einsetze, stimmt die Gleichung nicht!!

Hilfeeee wo ist mei fehler???

Lg

09.03.2011, 19:41

Elvis

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Du musst $\begin{eqnarray*} \lambda(b_i) \end{eqnarray*}$ in der Basis B darstellen und nicht in der Standardbasis.

09.03.2011, 22:49

niko_graz

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Zitat:

Original von Elvis
Du musst $\begin{eqnarray*} \lambda(b_i) \end{eqnarray*}$ in der Basis B darstellen und nicht in der Standardbasis.

hmm danke erstmal, aber wie mache ich das?? hab echt keinen plan...

09.03.2011, 23:14

Reksilat

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Wo hängt es denn?
- Rechne $\begin{eqnarray*} \lambda (b_1) \end{eqnarray*}$ aus.
- Dann stelle diesen Vektor als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ dar.

Anschließend machst Du das gleiche mit $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ .

Die Koeffizienten Deiner Linearkombination ergeben die Einträge Deiner Matrix.

Gruß,
Reksilat.

10.03.2011, 06:58

niko_graz

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Ich glaube jetzt versteh ich's =)... Wäre die Matrix M1 dann:

1 0 0
0 2 0
0 0 3

danke für die Hilfe!!

Lg

10.03.2011, 11:22

Reksilat

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Ja, das passt so. Freude

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