Primpolynom

09.03.2011, 19:07

Adicon

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Primpolynom

Meine Frage:
Hallo
habe schwierigkeiten bei folgender Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} F = X^9+3X^6+3x^3+1 \end{eqnarray*}$

Da soll ich die reelle Primfaktorzerlegung durchführen.

Meine Ideen:
1. NS raussuchen

bekomme dann $\begin{eqnarray*} F = (x^6-3x^5+6x^4-7x^3+6x^2-3x+1)*(x+1)^3 \end{eqnarray*}$

wie zerlege ich das Polynom weiter ?

09.03.2011, 19:14

lgrizu

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RE: Primpolynom
Wenn ganzzahlige Nullstellen existieren, so sind diese bereits Teiler des Absolutgliedes.

Über welchem Ring sollst du das Polynom denn zerlegen?

09.03.2011, 19:21

Adicon

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Über den Polynomring

edit: ich denke R[x]

09.03.2011, 19:45

lgrizu

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Okay, also über R.

Ganzzahlige Lösungen hat das Polynom nicht, also kommen bei der weiteren Zerlegung Näherungsverfahren in Frage.
Sinnvoll ist es aber erst einmal, zu überprüfen, ob das Polynom selbst irreduzibel ist oder in irreduzible Polynome kleineren Grades zerfällt.

Als Anmerkung: Nullstellen hat es keine mehr.

09.03.2011, 20:00

Adicon

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Wie prüfe ich denn ob das Polynom irreduzibel ist oder nicht ? durch ausprobieren eines kleinen Polynoms ? z.B.Grad 2?

09.03.2011, 20:36

lgrizu

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Jap, Grad 2, warum kannst du dich auf Polynome vom Grad 2 beschränken?

Woher weißt du, dass diese Polynom über R in solche zerfallen muss?

Wieso kann das Polynom selbst nicht irreduzibel sein?

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09.03.2011, 20:46

Adicon

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Das sind gute fragen smile

smile

ich kann mich auf grad 2 beschränken, weil 2 der kleinste von 6 ist ?

das polynom kann nicht irreduzibel sein, weil es noch kleinere Grade als 6 gibt?

bin ich auf dem richtigen weg? smile

smile

09.03.2011, 20:49

lgrizu

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Nicht so ganz, aber über den reellen Zahlen sind alle irrduziblen Polynome vom Grad 1 oder 2, vom Grad 1 existiert keines mehr, das wären Linearfaktoren, also muss es Polynome vom Grad 2 geben, in die das Polynom weiter zerfällt.

Wie schauen nun die irreduziblen Polynome vom Grad 2 aus?

09.03.2011, 21:05

Adicon

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Sehen die irreduzible Polynome des 2 Grades

$\begin{eqnarray*} X^2 + a*X+b \end{eqnarray*}$

so aus ?

wenn ja muss ich alle Möglichkeiten durchprobieren bis ich das richtige Primpolynom gefunden hab ?

10.03.2011, 10:36

lgrizu

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Eine Beduíngung ist noch daran gebunden, und der Koeffizient von x² fehlt noch.

Dein Polynom ist vom Grad 6 und hat keine Nullstelle, es muss also in drei Polynome vom Grad 2 zerfallen.

Multipliziere drei irreduzible Polynome vom Grad 2 in allgemeiner Darstellung und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

10.03.2011, 10:49

kiste

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Zitat:

Original von lgrizu
Multipliziere drei irreduzible Polynome vom Grad 2 in allgemeiner Darstellung und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

Hast du den Tipp selbst schon einmal versucht? Sieht mir eher nach einem recht sinnlosem Verfahren aus.

Als Tipp gebe ich einmal hier die binomische Formel an die Hand, damit sieht man die Faktorisierung eigentlich schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 13:33

lgrizu

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Nope, habs nicht selbst ausprobiert, ich dachte mir nur, dass man, wenn man das Polynom normiert 6 Unbekannte und 6 Koeffizienten hat.

Dass es recht rechenaufwendig ist war mir schon klar, aber sinnlos erschien es mir nicht.

Binomische Formeln sind natürlich wesentlich einfacher, hab ich aber auf den ersten Blick nicht gesehen.

10.03.2011, 15:51

Adicon

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hi,

könnt ihr mir noch einen kleinen Tipp geben, wie ich das über die binomische formel machen soll.

Sehe sie leider nicht verwirrt

verwirrt

10.03.2011, 17:55

Quadratzahl-Jan

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kiste meint, dass du das Polynom F noch mal in der Ausgangsform betrachten sollst. Stichwort "allgemeine binomische Formel".
Das ist hier wohl wesentlich einfacher.

11.03.2011, 16:05

Adicon

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hiho

okay habe es wie folgt gemacht:

$\begin{eqnarray*} x^9+3x^6+3x^3+1 \end{eqnarray*}$

substituiert mit $\begin{eqnarray*} A = x^3 \end{eqnarray*}$

kriege dann $\begin{eqnarray*} (A+1)^3 \end{eqnarray*}$

ist das denn schon die komplette Primfaktorzerlegung im $\begin{eqnarray*} \mathbb R [x] \end{eqnarray*}$ ?

11.03.2011, 16:10

lgrizu

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Nun kannst du resubstituieren und benutzen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} x^3+1=(x+1) \cdot (x^2-x+1 \end{eqnarray*}$ .

11.03.2011, 16:50

Adicon

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woher weißt du das man mit

$\begin{eqnarray*} (x+1)(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$ multiplizieren muss um auf $\begin{eqnarray*} x^3 + 1 \end{eqnarray*}$
zu kommen ?

gibt es eine seite wo man sich die Primpolynome der Ringe angucken kann ?

edit: hast du $\begin{eqnarray*} (x^3+1) \end{eqnarray*}$ durch die nullstelle des anfangspolynoms genommen? kann man das immer machen ?

11.03.2011, 16:55

kiste

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Du könntest Polynomdivision (x^3+1)/(x+1) machen da du ja bereits weißt, dass -1 eine Nullstelle ist.

Und eine Seite mit allen Primpolynomen gibt es eher nicht, sind ja unendlich viele.

11.03.2011, 16:56

lgrizu

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Zum einen hast du bereits herausgefunden, dass das Ausgangspolynom in drei Linearfaktoren zerfällt, nämlich in $\begin{eqnarray*} (x+1)^3 \end{eqnarray*}$ .

Zum zweiten ist $\begin{eqnarray*} x^n+1=(x+1) \cdot (x^{n-1}-x^{n-2}+..........) \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachprüfen kann.

11.03.2011, 16:59

kiste

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Zitat:

Original von lgrizu
Zum zweiten ist $\begin{eqnarray*} (x+1)^n=(x+1) \cdot (x^{n-1}-x^{n-2}+..........) \end{eqnarray*}$ , wie man leicht nachprüfen kann.

Du meinst x^n+1 = ...
Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.03.2011, 17:01

lgrizu

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Natürlich, hab ich oben auch so angewendet, etwas nachlässig beim Tippen gewesen.....

11.03.2011, 17:07

Adicon

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okay und dann nehm ich die Primpolynome noch hoch drei und dann ist es zerlegt.

Darf ich euch noch fragen wie das Primpolynom aussieht wenn nach dem $\begin{eqnarray*} \mathbb C [x] \end{eqnarray*}$ gefragt wird?

11.03.2011, 17:08

lgrizu

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Eins nach dem anderen, wie schaut denn nun deine Lösung vollständig aus?

11.03.2011, 17:16

Adicon

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$\begin{eqnarray*} (x^9+3x^6+3x^3+1)= (x+1)^3(x^2-x+1)^3 \end{eqnarray*}$

so ist das Polynom in seine Faktoren zerlegt smile

smile

11.03.2011, 17:19

lgrizu

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Zitat:

Original von Adicon
$\begin{eqnarray*} (x^9+3x^6+3x^3+1)= (x+1)^3(x^2-x+1) \end{eqnarray*}$

so ist das Polynom in seine Faktoren zerlegt smile

smile

Da fehlt noch ein Exponent, richtig ist:

$\begin{eqnarray*} (x^9+3x^6+3x^3+1)= (x+1)^3(x^2-x+1)^3 \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Okay, nun betrachten wir das ganze über den komplexen Zahlen, nach Fundamentalsatz der Algebra zerfällt jedes Polynom vollständig in Linearfaktoren, es sind also die komplexen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2-x+1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, pq-Formel sollte hier zum Ziel führen.

11.03.2011, 17:30

Adicon

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mh hab kleines problem : $\begin{eqnarray*} 1/2\pm \sqrt{-3/4} \end{eqnarray*}$

wie mach ich das denn?

11.03.2011, 18:54

lgrizu

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Kennst du denn komplexe Zahlen?

Wie schaut eine komplexe Zahl ganz allgemein aus?

11.03.2011, 19:09

Adicon

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eine Komplexe zahl sieht im allgemeinen so aus:

$\begin{eqnarray*} z = (a+b*i) \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 19:24

lgrizu

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Und wie ist i definiert?

11.03.2011, 22:54

Adicon

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$\begin{eqnarray*} i = i, i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 22:56

lgrizu

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Na also, dann sollt es doch kein Problem sein, den Real und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

12.03.2011, 14:23

Adicon

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achso also sieht das ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2=1/2\pm\sqrt{\frac{-3}{2}i } \end{eqnarray*}$ und dem reellen $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$

warum krieg ich das raus wenn ich pq-formel anwende?

$\begin{eqnarray*} 1/2\pm\sqrt{\frac{-3}{4} } \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 14:40

lgrizu

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Zitat:

Original von Adicon
achso also sieht das ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2=1/2\pm\sqrt{\frac{-3}{2}i } \end{eqnarray*}$ und dem reellen $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Wo hast du denn das Ergebnis her? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Adicon
warum krieg ich das raus wenn ich pq-formel anwende?

$\begin{eqnarray*} 1/2\pm\sqrt{\frac{-3}{4} } \end{eqnarray*}$

Weil es richtig ist.....

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{-3}{4}}=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Mit i²=-1 ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{-3}}{2}=\frac{\sqrt{3i^2}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wie schauen also die Lösungen aus?

12.03.2011, 14:56

Adicon

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Adicon
achso also sieht das ergebnis

$\begin{eqnarray*} x_1,x_2=1/2\pm\sqrt{\frac{-3}{2}i } \end{eqnarray*}$ und dem reellen $\begin{eqnarray*} x_3=-1 \end{eqnarray*}$

Wo hast du denn das Ergebnis her? verwirrt

verwirrt

Da hab ich die Wurzel falsch gesetzt sollte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2}i \end{eqnarray*}$ heißen

Das wären dann auch die Ergebnisse oder nicht ?

12.03.2011, 15:05

lgrizu

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Wieso steht unter der Wurzel noch immer -3?

Wenn ich das einmal ausrechne:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{-3} \cdot i}{2}=\frac{\sqrt{-3 \cdot i^2}}{2}=\frac{\sqrt{(-3) \cdot (-1)}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{\sqrt{-3}}{2} \end{eqnarray*}$

Andersherum ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{-3}}{2}=\frac{\sqrt{3i^2}}{2}=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{i^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$ .

12.03.2011, 15:22

Adicon

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achso dann sind die ergebnisse :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

12.03.2011, 15:37

lgrizu

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Und wie kommst du darauf?

Warum hast du vier Nullstellen eines Polynom 2. Grades?

Und vor allem: Warum hast du noch reelle Nullstellen, obwohl doch schon klar war, dass x²-x+1 irreduzibel über den reellen Zahlen ist?

12.03.2011, 16:18

Adicon

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Zitat:

Original von lgrizu

Warum hast du vier Nullstellen eines Polynom 2. Grades?

weil die wurzel aus irgendwas immer 2 ergebnisse liefert

Zitat:

Und vor allem: Warum hast du noch reelle Nullstellen, obwohl doch schon klar war, dass x²-x+1 irreduzibel über den reellen Zahlen ist?

durch den komplexen polynomring sind neue möglichkeiten entstanden

12.03.2011, 16:27

lgrizu

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Zitat:

Original von Adicon

Zitat:

Original von lgrizu

Warum hast du vier Nullstellen eines Polynom 2. Grades?

weil die wurzel aus irgendwas immer 2 ergebnisse liefert

Genau deshalb hast du zwei Nullstellen eines qudratischen Polynoms, aber 4...? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Adicon

Zitat:

Und vor allem: Warum hast du noch reelle Nullstellen, obwohl doch schon klar war, dass x²-x+1 irreduzibel über den reellen Zahlen ist?

durch den komplexen polynomring sind neue möglichkeiten entstanden

Dadurch, dass wir ein Polynom nicht mehr über den reellen Zahlen betrachten erhalten wir neue reelle Nullstellen? verwirrt

verwirrt

Das ist alles sehr fragwürdig, um genau zu sein grottenfalsch.

Wenn du folgendes ausmultiplizierst soll das ein Polynom vom Grad 2 ergeben:

$\begin{eqnarray*} \left(x-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \cdot \left(x-\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \cdot \left(x-\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \right) \cdot \left(x-\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \right) \end{eqnarray*}$

Da kann doch irgendetwas nicht stimmen.....

Jetzt konzentrier dich einmal, du hast doch die richtigen Nullstellen ausgerechnet, diese sind:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{-3}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Es geht nur noch darum, hier den Real und Imaginärteil zu bestimmen.

Es steht auch schon alles in diesem Thread, benutze, dass i²=-1 ist und ersetze unter der Wurzel dieses, dann bist du schon fertig.

Reelle Nullstellen hat das Polynom nicht, wie wir richtig herausgefunden haben.

12.03.2011, 20:16

Adicon

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ich glaub ich seh den wald vor lauter bäumen nicht

Also ist das ergebnis

$\begin{eqnarray*} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

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