Lineare Unabhängigkeit von Polynomen

09.03.2011, 21:33	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Polynomen Meine Frage: Gegeben sind die Polynome $\begin{eqnarray} <br /> (x^3+1), (x^2+1),(x-1)<br /> \end{eqnarray}$ Wie prüfe ich nun die lineare Unabhängigkeit ? Meine Ideen: Kann man nicht einfach jedes Polynom bezüglich der Monombasis $\begin{eqnarray} <br /> (1,x,x^2,x^3)<br /> \end{eqnarray}$ darstellen ? So hätte ich hier die Vektoren $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und könnte nun mit Gauß auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Was schließlich ergibt das die Vektoren linear Unabhängig sind, was man den Polynomen ja schon ansieht wegen x , x^2 und x^3...
09.03.2011, 22:56	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit von Polynomen Ja, das geht so. Alternativ kann man auch einfach $\begin{eqnarray} a(x^3+1)+b(x^2+1)+c(x-1)=0 \end{eqnarray}$ ansetzen und dann per Koeffizientenvergleich $\begin{eqnarray} a=b=c=0 \end{eqnarray}$ folgern. Das kommt dem, "was man den Polynomen ja schon ansieht" recht nahe. Gruß, Reksilat.
10.03.2011, 10:30	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Koeffizientenvergleich bringt mich nicht wirklich weiter $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x^3 \cdot (c) + x^2 \cdot (b) + x \cdot (a) + 1 \cdot (a-b+c)<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Und dann ?
10.03.2011, 11:09	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist: $\begin{eqnarray} a\cdot x^3 +b\cdot x^2 + c \cdot x + (a+b-c)\cdot 1=0\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x+0\cdot 1 \end{eqnarray}$ Edit: Warum hast Du denn die Koeffizienten so durcheinandergebracht.
10.03.2011, 11:27	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok alles klar

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