Extremwertaufgabe

09.03.2011, 22:15

Anonymous2

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Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Hallo,
ich muss demnächst ein Referat halten über Extremwertaufgaben und habe folgende Gleichung $\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)\cdot \left(u+3\right) e^{-u} \Rightarrow Definitionsmenge:[-3; +unendlich[ \end{eqnarray*}$
Ich müsste beim Nullsetzten von der 1.Ableitung dieser Funktion u= -1 rausbekommmen,leider bekomme ich aber u= -2 raus.
Könnte bitte jemand die 1.Ableitung bilden und dann Nullsetzten,damit ich meinen Fehler erkennen kann.Da ich persönlich meinen Fehler nicht finde.

Mfg

Meine Ideen:
Ich poste hier mal meine 1.Ableitung
$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{2} +\frac{3}{2}ue^{-u} \cdot \left(-u+2\right) \end{eqnarray*}$

09.03.2011, 22:22

Equester

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Also ich habe die erste Ableitung gebildet und diese Null gesetzt.
Ich erhalte unter anderem u=-1 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Probiers nochmals. Mit Rechenschritten bitte.
(Vllt ist es mit der Kettenregel übersichtlicher? Faße oben die beiden Klammern zusammen)

09.03.2011, 22:42

Anonymous2

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Da meine Ableitung $\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{2} +\frac{3}{2}ue^{-u} \cdot \left(-u-2\right) \end{eqnarray*}$ (oben ist es ein vorzeichenfehler^^') ist.
Würde ich so Null setzten
A'(u)=0

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{2} +\frac{3}{2}ue^{-u} \cdot \left(-u+2\right)= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3ue^{-u}\cdot (-2u-4)=0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} e^{exponent} \end{eqnarray*}$ immer >0 ist,kann nur noch die Klammer 0 sein. Deswegen: -2u-4=0 => u=-2
Aber das ist falsch ?

09.03.2011, 22:48

Equester

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Die Ableitung selber ist falsch, soweit ich das sehe.

Aber auch dein Nullsetzen wimmelt von Fehlern.
Eine Multiplikation mit 2 ist in Ordnung. Allerdings nur jeden Summanden!
Nicht jedes Produkt!
Zumal kannst du das 1/2 nicht einfach wegfallen lassen (weswegen du mit
deiner e-Funtkion Schwierigkeiten bekommst)
Aber lassen wir das mal und kümmern uns um eine richtige Ableitung Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2011, 23:08

Anonymous2

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So ich habe jetzt nochmal neu die Ableitung gemacht.

$\begin{eqnarray*} <br /> A(u)=\frac{1}{2}u+\frac{3}{2} \cdot (u+3)e^{-u} <br /> <br /> A'(u)\frac{1}{2}u\cdot ( 1\cdot e^{-u}+(u+3)\cdot (-e^{-u}) <br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2}u \cdot (e^{-u}-ue^{-u} -3e^{-u})<br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2}ue^{-u}\cdot (1-u-3)<br /> \end{eqnarray*}$

09.03.2011, 23:12

Equester

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verwirrt

Erst sagtest du, dass die Ausgangsfunktion so aussieht:
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)\cdot \left(u+3\right) e^{-u} \end{eqnarray*}$

Auf einmal sind wir hier?
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}u+\frac{3}{2} \cdot (u+3)e^{-u} \end{eqnarray*}$

Erstere und letztere sind zwei verschiedene! Mit ersterer kommt man auf die
von dir gegebene Lösung.

Meine Empfehlung:
Erstere so umzuschreiben:
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)^2 e^{-u} \end{eqnarray*}$

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09.03.2011, 23:19

Anonymous2

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Ich habe die erste Klammer ausmultipliziert,anscheinend darf man das nich ^^'
Das Problem bei
$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)^2 e^{-u} \end{eqnarray*}$
weiß ich nicht wie man die Funktion ableiten soll.

09.03.2011, 23:23

Equester

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? Da kann man nichts ausklammern^^ Du hast doch ein Produkt, keine Summe.

Kettenregel und Produktregel sind hier die Stichworte.
Wenn das so ungewohnt ist, lass es wie ursprünglich stehen. Eine andere
Vereinfachung sehe ich nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2011, 23:39

Anonymous2

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Sooo
ich hab hier sicher wieder irgendwo einen Fehler...

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)^2 e^{-u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=\frac{1}{2} \left(u+6\right) \cdot e^{-u}+(u+3)²\cdot (-e^{-u} )<br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2} \left(-ue^{-u}+6e^{-u}-ue^{-u}-6ue^{-u} -9e^{-u} \right) <br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2} \left(6e^{-u}-6ue^{-u}-9e^{-u} \right) <br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2} e^{-u} (6-6u-9) <br /> <br /> A'(u)=\frac{1}{2} e^{-u} (6u-3) \end{eqnarray*}$

09.03.2011, 23:49

Equester

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Ja, da hat sich gleich in der ersten Zeile ein Fehler eingeschlichen.
Die Kettenregel verlangt, dass du die Potenz vor die Klammer schreibst.

Schau mal her:

$\begin{eqnarray*} A(u)=\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)\cdot \left(u+3\right) e^{-u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\cdot \left(u+3\right)^2 e^{-u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{2}*(2*(u+3)*e^{-u}+(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$

Mach du weiter smile

smile

10.03.2011, 00:03

Anonymous2

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$\begin{eqnarray*} A'(u)=\frac{1}{2}*(2*(u+3)*e^{-u}+(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(2u+6)*e^{-u}+(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(2ue^{-u}+6e^{-u} +(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(2ue^{-u}+6e^{-u} +-ue^{-u} -6ue^{-u} -9e^{-u} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(ue^{-u}+6e^{-u} -6ue^{-u} -9e^{-u} ) \end{eqnarray*}$

soweit richtig?

10.03.2011, 00:09

Equester

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Nein leider nicht. Du hast das u² bei der binomischen Formel nicht beachtet.
Dein Weg ist aber ohnehin ein komplizierterer.
Du willst doch nur ein Produkt haben -> Wir haben hier doch eine Summe
und können ausklammern (das 0,5 mal unbetrachtet).

Klammere $\begin{eqnarray*} (u+3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{-u} \end{eqnarray*}$ aus und wir sind im Prinzip am Ziel Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 00:17

Anonymous2

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$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(2u+6)*e^{-u}+(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$

ausgeklammert wäre es also:
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*((u+3)e^{-u} )(2+(u+3)-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*((u+3)e^{-u} )(1+(u+3)) \end{eqnarray*}$ ?

10.03.2011, 00:19

Equester

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Zitat:

Original von Anonymous2
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(2u+6)*e^{-u}+(u+3)^2*(-e^{-u})) \end{eqnarray*}$

ausgeklammert wäre es also:
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(u)=0,5*(u+3)e^{-u} (2+(u+3)*(-1)) \end{eqnarray*}$ Vorsicht! Hier kommt noch ein * rein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Noch einen Schritt -> Verarbeite das -1; und wir sind am Ziel smile

smile

10.03.2011, 00:22

Anonymous2

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Ich steh grad auf dem Schlauch,wie soll ich das verarbeiten bzw warum muss ich das verarbeiten?

10.03.2011, 00:24

Equester

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$\begin{eqnarray*} A'(u)=0,5*(u+3)e^{-u} (2+(u+3)*(-1)) \end{eqnarray*}$

Den Fehler selbst von dir hast du erkannt?

Verarbeiten solltest du es, damit du weiter vereinfachen kannst:

$\begin{eqnarray*} A'(u)=0,5*(u+3)e^{-u} (2+(-u-3)*) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} A'(u)=0,5*(u+3)e^{-u} (2-u-3)) \end{eqnarray*}$

Die Klammer noch und es wird unter anderem dastehen u=-1 (für A'(u)=0).

10.03.2011, 00:33

Anonymous2

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ach soooo

jetzt hab ichs verstanden,weil das e^-u am ende negativ war Big Laugh

Big Laugh

Vielen vielen Dank Blumen

Blumen

10.03.2011, 00:37

Equester

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Genau deswegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerne und gute Nacht Wink

Wink

10.03.2011, 22:16

Anonymous2

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So es geht wieder los^^'
Ich habe bis jetzt die 1.Ableitung mit:
$\begin{eqnarray*} A'(u)=0,5*(u+3)e^{-u} (2-u-3)) \end{eqnarray*}$
ich bräuchte aber nun die zweite für die bestimmung der Krümmung an dem Punkt u=-1

Ich habe einen Fehler in der 2.Ableitung ich weiß nur nicht wo,also zeige ich hier mal meine Rechenschritte auf.
$\begin{eqnarray*} <br /> A''(u)=0,5*e^{u} +(u+3)*(-e^{-u})*(2-u-3)<br /> <br /> A''(u)=0,5*e^{-u}-ue^{-u}-3e^{-u}*(2-u-3)<br /> <br /> A''(u)=0,5*(-ue^{-u})-2e^{-u}*(2-u-3)<br /> <br /> A''(u)=0,5*ue^{-u} +2e^{-u} *(2-u-3)-ue^{-u}-2e^{-u} *(-u) \end{eqnarray*}$

Soweit mal,stimmt das bis dahin?

10.03.2011, 22:27

Equester

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Die wird nicht sehr schön...
Aber mal vorab. Ist dir eigentlich bewusst, dass (2-u-3) das gleiche ist wie (-u-1) Big Laugh

Big Laugh

Deine Ableitung kann schon nicht stimmen, da du 3 Faktoren hast, die abgeleitet werden müssen,
du aber nur zwei Summanden in deiner Ableitung hast... Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 22:31

Anonymous2

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Ja das is ja das Problem^^

Bei $\begin{eqnarray*} (3+u)*e^{-u} \end{eqnarray*}$ kann ich ja die Produktregel anwenden,aber was mach ich dann mit (-u-1)?
Leite ich das nachträglich ab?

10.03.2011, 22:34

Equester

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Die Produktregel gilt auch für mehr als zwei Faktoren Augenzwinkern

Augenzwinkern

f(x)=u*v*w
f'(x)=u'*v*w+u*v'*w+u*v*w'

Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 22:49

Anonymous2

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$\begin{eqnarray*} A''(u)=0,5*(1)*e^{u}*(-u-1) +(u+3)*(-e^{-u})*(-u-1)+(3+u)*e^{-u}*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> A''(u)=0,5*(-ue^{-u})-e^{-u}-3e^{-u}-ue^{-u}*(-u-1)-3e^{-u}-3ue^{-u}<br /> <br /> A''(u)=0,5(-ue^{-u})-e^{-u}+3ue^{-u}+3e^{-u}+u²e^{-u}+ue^{-u}-3e^{-u}-3ue^{-u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A''(u)=0,5*(-e^{-u})+u²e^{-u} \end{eqnarray*}$

10.03.2011, 22:55

Anonymous2

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...das kann eig nich stimmen,wenn ich -1 einsetz für u,bekomm ich 0 raus,aber ich muss <0 rausbekommen,weil das ein hochpunkt ist <.<

10.03.2011, 23:00

Equester

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Da hast dir aber Mühe gegeben smile

smile

Zwei Dinge.
Das 0,5 ist vor eine äußere große Klammer zu setzen. Du hast es so behandelt, nicht
aber so hingeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ein Fehler gleich in der zweiten Zeile beim Ausklammern: Letzter Summand Augenzwinkern

Augenzwinkern

Sonst aber stimmts, soweit ich das sehe Freude

Freude

10.03.2011, 23:08

Equester

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Für deine Mühen einen Tipp wie du leicht zum Ziel kommst.

$\begin{eqnarray*} -3ue^{-u} \end{eqnarray*}$
ist falsch und ist allein $\begin{eqnarray*} -ue^{-u} \end{eqnarray*}$

Demnach musst du zu deiner letzten Zeile einfach ein $\begin{eqnarray*} +2ue^{-u} \end{eqnarray*}$ hinzufügen

Wink

Wink

10.03.2011, 23:11

Anonymous2

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Gerade wollte ich die Antwort schreiben,hättest du mir nur 30s länger Zeit gegeben :p

Trotzdem nochmals danke^^

10.03.2011, 23:13

Equester

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Ich habs gesehen Big Laugh

Big Laugh

Wollte nur den lieben Jungen spielen und doch nichts neues verraten ROFL

ROFL

10.03.2011, 23:25

Anonymous2

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Bloß müsste ich für u=-1,einen Hochpunkt bekommen,aber ich bekomm einen Tiefpunkt.(Graphisch ist es ein Hochpunkt)

$\begin{eqnarray*} A''(u)=0,5*(-e^{-u})+u²e^{-u} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A''(-1)=0,5*(-e^{1})+e^{1}+e^{1}<br /> <br /> A''(-1)=1\frac{e^{1} }{2} \end{eqnarray*}$

10.03.2011, 23:34

Equester

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Spaßvogel. Du arbeitest auch mit dem falschen A''(u) Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Und vergiss nicht die Klammer für 0,5.)

$\begin{eqnarray*} 2ue^{-u} \end{eqnarray*}$ nicht vergesse smile

smile

10.03.2011, 23:46

Anonymous2

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...Moment^^

$\begin{eqnarray*} A''(u)=(0,5)*(-e^{-u})+u²e^{-u} +2ue^{-u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> A''(-1)=(0,5)*(-e^{1})+e^{1}+2e^{1}<br /> <br /> A''(-1)=2\frac{e^{1} }{2} \end{eqnarray*}$

das stimmt doch? ist doch auch die richtige ableitung? >.<

10.03.2011, 23:48

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Anonymous2
...Moment^^

$\begin{eqnarray*} A''(u)=(0,5)*((-e^{-u})+u²e^{-u} +2ue^{-u}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> A''(-1)=(0,5)*((-e^{1})+e^{1}-2e^{1}) \end{eqnarray*}$

Mal die Klammer gesetzt, wie ich sie haben wollt :P

Ist u nicht -1? :P Oben steht dann da en - statt en +.
Wirds spät? Big Laugh

Big Laugh

10.03.2011, 23:50

Anonymous2

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Ne,eben nicht...

ich setz doch -1 ein=> $\begin{eqnarray*} e^{-(-1)} \end{eqnarray*}$

10.03.2011, 23:50

h*f

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Hallo !

Also soweit deine Ableitung richtig ist, musst du $\begin{eqnarray*} -2exp^1 \end{eqnarray*}$ am Schluss schreiben

10.03.2011, 23:51

Equester

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Eben doch.
In der Potenz schon, nicht aber beim letzten Summanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 23:54

Anonymous2

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach soooooo,ups Hammer

Hammer

10.03.2011, 23:56

Equester

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Bei dir, bei uns ist er $\begin{eqnarray*} -2e^1 \end{eqnarray*}$ :P

Big Laugh

Big Laugh

10.03.2011, 23:59

Anonymous2

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Also kommt am Ende
$\begin{eqnarray*} <br /> A''(-1)=-1\frac{e^{1} }{2} \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 00:01

Equester

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Ich habe nur $\begin{eqnarray*} -e^1 \end{eqnarray*}$ raus.
Aber das macht wohl keinen Unterschied? Du willst ja nur wissen ob positiv oder
negativ?? Augenzwinkern

Augenzwinkern

-> $\begin{eqnarray*} <br /> A''(-1)=(0,5)*((-e^{1})+e^{1}-2e^{1}) \end{eqnarray*}$

Beachte das 0,5 -> $\begin{eqnarray*} -e^1 \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 00:06

Anonymous2

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Ja leichtsinnsfehler,ich hab die 0,5 schon vorher multipliziert,deswegen kommt bei mir auch dann 1,5e raus.

Bereit für die nächste Aufgabe? ;D

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