Einheitskugel und -sphäre

09.03.2011, 23:11

Thomas007

Einheitskugel und -sphäre

Hallo miteinander!

Ich hätte eine Frage, die sich relativ leicht stellt (die "Behauptung" trat heute in der VL auf): Wieso ist die abgeschlossene Einheitskugel und -sphäre in IR^n kompakt? (wenn man die Maximumsnorm betrachtet)

Falls die Antwort viel komplizierter ist, als die Frage, würden mir auch einige Stichwörter helfen smile

Gute Nacht, Thomas

09.03.2011, 23:51

zweiundvierzig

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Beide Menge sind abgeschlossen und beschränkt (bezüglich jeder Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ), d.h. kompakt nach dem Satz von Heine-Borel.

10.03.2011, 00:02

Thomas007

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Besten Dank!
Die eigentliche Folgerung ist mir nun klar.
Wie aber zeigt man, dass die Mengen abgeschlossen und beschränkt sind?

10.03.2011, 00:14

zweiundvierzig

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Wann ist denn eine Menge in einem metrischen Raum beschränkt? Damit siehst Du, dass beide Mengen im Grunde qua ihrer Definition beschränkt sind.

Die Abgeschlossenheit kannst Du durch Offenheit der Komplemente beweisen.

10.03.2011, 10:08

Thomas007

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Du hast Recht. Die Beschränktheit folgt natürlich direkt aus der Definition. Denn:
Eine Menge aus einem metrischen Raum heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist.
Und sei es nun die Einheitskugel oder die Einheitssphäre - beide sind nicht grösser als 1 --> Beschränktheit.

Die Abgeschlossenheit konnte ich für die Einheitskugel beweisen.
Kann es sein, dass der Beweis für die Einheitssphäre praktisch gleich ist? (Anstatt ||x||>1 ist einfach ||x||=1 --> Einheitssphäre Teilmenge der Komplementmenge.)

10.03.2011, 15:44

zweiundvierzig

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Dein Beweis der Beschränktheit stimmt.

Bei der Abgeschlossenheit könnte ich erahnen, dass Du den richtigen Ansatz hattest, aber vielleicht schreibst Du das nochmal explizit auf.

10.03.2011, 15:51

tmo

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Ich würde für den Beweis der Abgeschlossenheit einfach anmerken, dass die Norm stetig ist (Folgt aus der Dreiecksungleichung) und dann folgt die Abgeschlossenheit daraus, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen wieder abgeschlossen sind.

10.03.2011, 17:45

zweiundvierzig

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Ja, das ist auch schöner.

10.03.2011, 19:49

Thomas007

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Also ich habs so gemacht:
Sei B die Einheitskugel $\begin{eqnarray*} ( x \in I^2 | ...) \end{eqnarray*}$
zz: Das Komplement von B, das heisst B^C = I^2 \ B, ist offen.
Bew: Sei x aus B^C, also ||x|| > 1 --> B(x, ||x||-1) ist Teilmenge von B^C.

Kann man das so machen?
( und eben, für die Sphäre: Sei x aus B^C, also ||x|| = 1 --> B(x, 0) ist Teilmenge von B^C. )

10.03.2011, 21:05

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
zz: Das Komplement von B, das heisst B^C = I^2 \ B [...]

Das verstehe ich nicht. Was ist $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Thomas007
Sei x aus B^C, also ||x|| > 1 --> B(x, ||x||-1) ist Teilmenge von B^C.

Das ist richtig, Du solltest den Schluss aber noch begründen.

Zitat:

Original von Thomas007
Kann man das so machen?
( und eben, für die Sphäre: Sei x aus B^C, also ||x|| = 1 --> B(x, 0) ist Teilmenge von B^C. )

Wenn $\begin{eqnarray*} x \notin \partial B_1(0) \end{eqnarray*}$ ist, gilt doch gerade $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert \neq 1 \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten ist die Idee analog: man würden Fall $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Vert x \Vert > 1 \end{eqnarray*}$ unterscheiden, wobei letzteres schon oben abgehandelt wurde.

Außerdem solltest Du nicht beide Mengen mit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ bezeichnen.

Im übrigen greife ich nochmal den Ansatz von tmo auf. Sei $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R^n \to \mathbb R_{\geq 0}, x \mapsto \Vert x \Vert \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für den Einheitsball $\begin{eqnarray*} B_1(0) =f^{-1}([0,1]) \end{eqnarray*}$ , d.h. er ist das Urbild des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ unter der Normabbildung. Kannst Du Dir überlegen, warum daraus die Abgeschlossenheit folgt?

10.03.2011, 22:02

Thomas007

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Vielen Dank für die Hinweise! smile

I sollte einfach ein Raum sein. Also IR^n bspw.

Zu deiner Schlussfrage: Das liegt doch daran, dass Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, oder?

10.03.2011, 22:09

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Thomas007
I sollte einfach ein Raum sein. Also IR^n bspw.

Sowas musst Du aber dann definieren. Augenzwinkern

Außerdem geht es in der Aufgabe ja gerade darum, Eigenschaften von bestimmten Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, daher gibt es auch nicht soviel sinnvolles, was man alternativ als umgebenden Raum betrachten könnte.

Zitat:

Original von Thomas007
Zu deiner Schlussfrage: Das liegt doch daran, dass Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind, oder?

Ja, richtig. Etwas ähnliches kannst Du Dir auch für die Einheitssphäre überlegen. Alternativ kann man auch sagen, dass die Einheitssphäre ein topologischer Rand ist und schon deswegen abgeschlossen.

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