Geraden-Spiegelung,-Drehung,-Umkehrung

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134340 Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden-Spiegelung,-Drehung,-Umkehrung
Wieso haben eine Geradenspiegelung sowie eine Drehung die gleichen Eigenschaften?
Zudem habe ich noch die Frage, ob eine Geradenspiegelung Umkehrbar ist.

Danke für eure antworten.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Eigenschaften meinst du konkret?
Redest du vom zweidimensionalen Raum, oder vom dreidimensionalen? Oder gar von einem höherdimensionalen Raum?

In einer Ebene, also im zweidimensionalen Raum, wird ein unsymmetrisches Objekt bei der Spiegelung an eienr Geraden in ihr Spiegelbild überführt, das mit den ursprünglichen Objekt nicht deckungsgleich ist. Keine Drehung (egal um welchen Winkel) könnte das bewerkstelligen, daher sind in 2D Drehung und Spiegelung zwei unterschiedliche Abbildungen.
In 2D wären jedoch eine Spiegelung an einem Punkt und eine 180°-Drehung um denselben Punkt identische Abbildungen.

In 3D ist das anders: In 3D ist nämlich die Spiegelung an einer Geraden tatsächlich dasselbe wie eine Drehung um 180° um diese Gerade. Das ist vergleichbar mit einer Punkt-Spiegelung in einer Ebene, nur dass der Raum selbst, ebenso wie der Unterraum um den gedreht bzw. gespiegelt wird, eine Dimmension mehr haben, wobei diese zusätzliche Dimmension aber bei Spiegelung und Drehung unverändert bleibt.

Das kann man auch auf Räume mit beliebig hoher Dimension verallgemeinern: Wenn du an einem Teilraum, der genau 2 Dimensionen weniger hat als der ganze Raum, eine Spiegelung durchführst, dann kommt genau dasselbe heraus, wie wenn du eine 180°-Drehung um den selben Teilraum ausführen würdest.

Beispiel:
Wenn du dich in einem 85-dimensionalen Raum befindest, ist eine 180°-Drehung um einen 83-dimensionalen Teilraum dieses Raums dasselbe wie eine Spiegelung an diesem 83-dimensionalen Teilraum.

Der Grund:
Du kannst immer ein Koordinatensystem so in den Raum legen, dass an Drehung und Spiegelung nur zwei Koordinatenachsen teilnehmen, während alle anderen (im Beispiel waren das 83) im rechten Winkel dazu stehen. Diese Achsen nehmen an Spiegelung und Drehung gar nicht teil, die ganze Geschichte lässt sich also auf eine Punktspiegelung und eine 180°-Drehung im 2-dimensionalen Raum zurückführen.
 
 
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, mein Fehler es geht um einen zweidimensionalen Raum. Wenn ich dann in diesem 2D-Raum eine Gerade an einer anderen Geraden spiegele, ist dass doch das gleiche, wie eine drehung oder?
Wenn ich eine Gerade zweimal an sich selbst spiegel, müsste sie doch auf sich selbst abgebildet werden oder nicht? Also wenn ich sie einmal spiegel und dann an dieser Spiegelung wieder spiegel.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich schon sagte:
Bei einer Drehung wird das transformierte Objekt nur an einen anderen Ort befördert und es hat eine andere Ausrichtung. Wenn du ein Objekt drehst, das wie der Buchstabe "b" aussieht, ist das Ergebnis der Operation wieder ein "b" (oder ein auf dem Kopf stehendes "q", das aber mit dem "b" kongruent ist).

Anders sieht das bei einer Spiegelung aus. Wenn du in der Ebene das "b" an einer Geraden spiegelst, wird ein "d" oder ein "p" daraus, aber niemals ein "b" oder "q".

Nun ist aber eine Gerade ein Objekt mit Spiegelsymmetrie. Man kann eine Gerade also durch eine geeignete Spiegelung in sich selbst überführen. Das geht bei einem "b" nicht. Es gibt keine Spiegelung, die das "b" unverändert lässt. Daher gibt es natürlich Drehungen, die eine BESTIMMTE Gerade in die selbe Position bringt wie eine Spiegelung. Aber die Anwendung der selbe Drehung und der selbe Spiegelung auf eine andere Gerade führen in der Regel zu zwei verschiedenen Resultaten.


Noch was: Wenn du eine Gerade an sich selbst spiegelst, reicht EINE Spiegelung um sie unverändert zu lassen. Beliebig häufiges Wiederholen dieser Operation führt ebenso zu keiner Veränderung.
Sonst ist es natürlich so, dass eine gerade Anzahl von Spiegelungen an der selben Geraden mit der Operation "nichts tun" identisch ist.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Hilfe smile . ich hab da aber noch eine Frage, wie im Titel bereits erwähnt, was ist denn die Umkehrung der Spigelung? Ist das wieder eine Spigelung nur eben in die andere Richtung?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Antwort auf diese Frage kannst du erstens durch Selbst-Nachdenken finden, und zweitens steht sie im letzten Satz meines letzten Posts. (Gemeint ist das mit der "geraden Anzahl von Spiegelungen")

Liebe Grüße
Hubert
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich, jetzt hab ichs verstanden.
Danke smile
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