Nichtlineare Optimierung, unrestringiert

10.03.2011, 12:09

tohuwabou

Nichtlineare Optimierung, unrestringiert

Hi,

ich habe eine kleine Verständnisfrage zu unrestringierten Optimierungsproblemen.

Wir haben definiert : $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nichtleer und offen und dass f eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Wir betrachten das unrestringierte Problem

$\begin{eqnarray*} \min_{x \in D} f(x) \end{eqnarray*}$

Wie sieht das aus mit den Randpunkten von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ? Können die keine Minimalstellen darstellen bei unrestringierten Problemen? Ich weiß, $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist offen, aber was ist, wenn man ein kleines bisschen rechts oder links von der Grenze einen Wert nimmt? Der kann doch immer noch besser sein, als Minimalstellen $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} \nabla f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

10.03.2011, 12:15

kiste

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Das bisschen rechts oder links reicht aus um an dem Punkt den Gradienten berechnen zu können und dieser muss dann eben 0 sein Augenzwinkern

10.03.2011, 12:21

tohuwabou

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Wieso muss der 0 sein?

Angenommen f fällt nach unten ab und am Rand von D wäre eine lokale oder vielleicht sogar globale Minimalstelle. Für die muss doch nicht die Streigung 0 sein.

@Edit : Also ich versuch das gerade mit einem praktischen Hintergrund zu sehen. Mathematisch ist mir schon klar, dass der Gradient 0 sein müsste, da man sonst immer weiter sich dem Rand von D nähern kann. Aber so ein Randpunkt kann doch in der Praxis durchaus besser sein, oder nicht?

10.03.2011, 12:31

tigerbine

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Kurze Frage:

Zitat:

Wie sieht das aus mit den Randpunkten von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ? Können die keine Minimalstellen darstellen bei unrestringierten Problemen? Ich weiß, $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist offen,

Wie passt das denn zusammen? verwirrt

10.03.2011, 12:34

tohuwabou

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Ich mein halt Punkte, die dicht am Rand liegen.

Ich frage mich gerade, ob der Autor vielleicht $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ offen animmt, damit man die Randpunkte nicht beachten muss. Kann das sein?

10.03.2011, 12:38

tigerbine

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Er nimmt D offen, um eben einen unrestringierten Fall zu haben, selbst wenn es nun nicht der ganze IR^n ist. Egal welches x aus D du wählst, es gibt immer eine Epsilonkugel um x, die komplett in D liegt. Lokale Extreme werden durch eine Eigenschaft in einer ggf. sehr kleinen Umgebung von ihnen definiert (Wieder eine Kugel).

edit: Das hat kiste mit dem "bisschen rechts, bisschen links" im Grunde auch schon angerissen.