Eigentwerte / Determinante

10.03.2011, 11:22	Zenitx	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentwerte / Determinante Meine Frage: Hallo, Ich habe zwei Fragen, die erstmal nicht so viel miteinander zu tun haben. 1. ich möchte zu folgender Matrix die Eigenwerte bestimmen: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. ich möchte die Determinante zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 &1 \\ 1 & 1 & -3 & -4 \\ 3 & 6 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: 1. Für die Eigenwerte muss ja $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E)=0 \end{eqnarray}$ gelten. Wenn ich da nun meine Werte einsetzt und ausrechne, komme ich auf eine quadratische Gleichung. Ist das das charakteristische Polynom? Wenn ich das auf jeden Fall ausrechne, komme ich auf 3 und -1. Ist das korrekt? Für die Eigenvektoren muss ich dann nur den jeweiligen Eigenwert in die Matrix einsetzen und als rechte Seite des LGS den Nullvektor nehmen. In dem Fall dann x2=r setzten und für 3 kommt zum Beispiel r*(1,1) raus. Auch korrekt? Bei einer 2x2 Matrix ist das ja noch überschaubar, aber nehmen wir mal eine 3x3 (oder 4x4) Matrix. Muss ich die Determinante dann mit der Regel von Sarrus bestimmen bzw. nach Laplace entwickeln oder geht das auch "einfacher"? 2. Mir gehts da hauptsächlich drum, wie ich am besten vorgehe. Sagen wir, ich möchte nach der ersten Spalte entwickeln. Ist es erlaubt, die Matrix erstmal so umzuformen, dass in der ersten Spalte möglichst viele Nullen stehen? Danke!
10.03.2011, 11:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal nur ein Link: [Artikel] Eigenwerte und Eigenvektoren (1) Wie beantwortest du nun selbst deine Fragen? (2) Zum Thema Matrixumformung
10.03.2011, 11:55	Zenitx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke erstmal. Ich denke zu den Eigenvektoren hat sich meine Frage dann erstmal geklärt. Nochmal zur Determinante (sorry, hatte einen Tippfehler oben). $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 &1 \\ 1 & 1 & -3 & -4 \\ 3 & 6 & -2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Vertauschen der ersten und der zweiten Zeile, sowie Addieren der ersten Zeile zur 2., 3. und 4. Zeile, komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 & -4 \\ 0 & -1 & 11 & 9 \\ 0 & 3 & 7 & 13 \\ 0 & 0 & 8 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Laut dem Wikipedialink von dir, ändert das Addieren ja nichts an der Determinante und das Vertauschen dreht das Vorzeichen um. Ich komme in der umgestellten Matrix auf 120, laut http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/determinanten.htm ist die Determinante der ursprünglichen Matrix -120, was ja dann passen würde. Jetzt nochmal eine Frage: Wenn ich zweimal zwei Zeilen vertausche, dreht sich das Vorzeichen dann nochmal um?
10.03.2011, 12:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
sicher.

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