Kleinste Sigma-Algebra

10.03.2011, 12:52	Gast111	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste Sigma-Algebra Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ eine nicht leere Menge und $\begin{eqnarray} \o \neq B \subset \neq \Omega \end{eqnarray}$ und f: $\begin{eqnarray} \Omega \rightarrow \end{eqnarray}$ {2,3} definiert durch f(x)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2, falls x \in A \\ 3, sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die kleinste Sigma-Algebra A über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , so dass f -A -Pot({2,3}) messbar ist. Begründen Sie, dass ihr gewähltes A die kleinste Sigma-Algebra ist. Meine Ideen: Hallo, ich weiß gar nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen soll...Was hat es mit dem B auf sich, brauch ich das? In meiner Sigma-Algebra muss ja auf jeden fall Omega und {} sein...aber was noch? Freu mich über jeden Rat, vielen Dank schon mal.
10.03.2011, 13:04	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Notation nicht Kann es sein, dass mit dem B das A gemeint ist? Betrachte einfach mal die Urbilder von 2 und 3 unter f, diese müssen natürlich drin sein, ausserdem muss das Ganze dann eine Sigma-Algebra sein, also auch die Komplemente und Schnitt dieser
12.03.2011, 20:01	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist doch aus der Stochastik II-Klausur der RWTH von diesem Semester, oder? Dort war jedoch kein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ vorhanden, sondern es war $\begin{eqnarray} \emptyset \neq A \subsetneq \Omega \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f ~:~ \Omega \to \{2,3\}, ~ x \mapsto \begin{cases} 2 & x\in A \\ 3 & \text{ sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ . Nun soll $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak{A}-{\rm Pot}( \{2,3\} ) \end{eqnarray}$ -messbar sein mit minimaler Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Betrachte dazu die Urbilder von $\begin{eqnarray} \emptyset, ~ \{2\}, ~ \{3\}, ~ \{2,3\} \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , diese müssen auf jeden Fall in $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ liegen. Hast du eine Idee, wie $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ dann gewählt werden kann?
14.03.2011, 13:46	Gast111	Auf diesen Beitrag antworten »
dann müsste $\begin{eqnarray} \mathfrak A \end{eqnarray}$ doch so aussehen $\begin{eqnarray} \mathfrak A=\emptyset, A, A^{c}, \Omega \end{eqnarray}$ , oder?
14.03.2011, 14:36	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig, aber bitte mit Mengenklammern: $\begin{eqnarray} \mathfrak{A} = \{ \emptyset, A, A^C, \Omega \} \end{eqnarray}$ .

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