Integral-Gleichung beweisen

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Integral-Gleichung beweisen
Meine Frage:
Hallo, liebe Matheboardler!

Hier ist eine Aufgabe aus der Analysis III-Klausur (Themenbereiche Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie), die mich geschafft hat (ich sie aber leider nicht). Vielleicht bekomme ich sie nun mit Eurer Hilfe gelöst.

Die Aufgabe:

Sei stetig. Zeigen Sie:


Meine Ideen:
In der Klausur dachte ich, diese Aufgabe hätte etwas mit dem Satz über die monotone Konvergenz von Integralen zu tun, aber ich bin damit nicht weiter gekommen.

Wie hätte ich an diese Aufgabe herangehen können?
Mir fehlt ein Ansatz.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Gleichung beweisen
Hallo,
Hast du das ganze mal mit dem Satz über dominierte Konvergenz versucht?
(f ist ja als stetige funktion auf einer kompakten Menge beschrängt)

Wießt du wie du dann weitermachst wenn der Limes im Integral steht?

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Gleichung beweisen
Das habe ich bis jetzt nicht versucht.

Ich wiederhole diesen Satz hier nochmal, damit Du mir vielleicht genau erklären kannst, wie man die einzelnen Voraussetzungen des Satzes jeweils für diese konkrete Aufgabe erkennt bzw. nachweist und zur Anwendung bringen kann.

Satz von der dominierten Konvergenz:
"Seien meßbare Funktionen und für alle existiere . Falls eine integrierbare Funktion mit für alle n existiert, so gelten:

a) Die und sind integrierbar,
b) ,
c) ."


Wie kann ich diesen Satz jetzt auf meine Aufgabe anwenden?

Edit:

Meine Ideen sind folgende:

f ist nach Voraussetzung stetig, ist also meßbar.
Jede meßbare Funktion ist punktweiser Limes einer Folge von einfachen Funktionen.
(Im Buch steht: "Sei meßbar. Dann existiert eine Folge von Treppenfunktionen mit und ." Daher dachte ich anfangs an den Satz von der monotonen Konvergenz und mir ist nicht klar, wieso man hier den Satz von der dominierten Konvergenz anwendet.)

Wie lautet diese Folge hier aber? ?
Und was könnte man als Funktion wählen?
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Gleichung beweisen
Ich hoffe ich sag jetzt nicht falsches (Aber da ich denke, dass noch mehr Leute diesen Thread beobachten, hoffe ich dass diese ggf. einschreiten, falls es ganz daneben ist).

Sei . Dann kann man folgendes schreiben:

und

Da als verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist, ist eben auch messbar. Insbesondere existiert aufgrund der Stetigkeit von f:



Da die stetig sind auf einer kompakten Menge sind sie beschränkt.

Ist das soweit verständlich?
Was bedeutet nun, dass beschränkt ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

@Zündholz, vielleicht eine kurze Anmerkung: Es ist zwar richtig, dass alle stetig sind, also beschränkt. Aber das hilft uns im Allgemeinen noch nicht weiter, da man ja eine Majorante für alle finden muss. Und es könnte ja weiterhin sein, dass irgendwie nur Schranken existieren mit , aber , womit uns also nicht geholfen wäre.

Das lässt sich aber leicht beheben: Da die von dir eingeführten Bijektionen auf [0,1] sind, folgt für alle k.

Also ist die Schranke von f auch eine Schranke für alle 's. Das wäre das entscheidende Argument für die Exsitenz der Majorante und damit die Rechtfertigung den Satz anzuwenden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral-Gleichung beweisen
Zitat:
Original von Zündholz
Ich hoffe ich sag jetzt nicht falsches (Aber da ich denke, dass noch mehr Leute diesen Thread beobachten, hoffe ich dass diese ggf. einschreiten, falls es ganz daneben ist).

Sei . Dann kann man folgendes schreiben:

und

Da als verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist, ist eben auch messbar.


Bis zu dieser Stelle ist es mir, denke ich, klar.

Zitat:
Original von Zündholz
Insbesondere existiert aufgrund der Stetigkeit von f:




Wieso folgt dies aus der Stetigkeit? Das ist mir nicht klar.

Zitat:
Original von Zündholz
Da die stetig sind auf einer kompakten Menge sind sie beschränkt.

Was bedeutet nun, dass beschränkt ist?


Das bedeutet, dass es zu jedem eine Majorante gibt?

Edit:

Okay, obige Anmerkung habe ich gelesen, dass man EINE Majorante finden muss und dass dies gegeben ist.

Wie folgt jetzt die Gleichung, die man zeigen soll?
 
 
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Das lässt sich aber leicht beheben: Da die von dir eingeführten Bijektionen auf [0,1] sind, folgt für alle k.

Also ist die Schranke von f auch eine Schranke für alle 's. Das wäre das entscheidende Argument für die Exsitenz der Majorante und damit die Rechtfertigung den Satz anzuwenden.


Danke, hätte ich übersehen smile .

@Dennis
Zur Stetigkeit, hast du schonmal was von dem "Folgenkriterium für stetigkeit" gehört?
(Falls nicht, findest du bei Google denke ich ziemlich schnell diese Charakteriesierung der Stetigkeit).

Zur Beschränktheit.
f ist ja beschränkt. Also finden wir wie von tmo bemerkt eine Majorante für alle .
Das heißt der Satz ist Anwendbar und man kann den Limes in das Integral ziehen.

Wenn der Limes nun im Integral steht, dann schau dir eben nochmal das Folgenkriterium für Stetigkeit an.
Wenn du das hast bist du eigentlich schon fertig. Es fehlt dann nur noch eine kleine begründnung warum nicht f(1) rauskommen kann.

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme dann auf:

Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert nun wenn x < 1 mit



und was ist wenn x = 1 ist? (... Warum kann letzterer Fall nicht eintreten)
und warum brauchst du nicht mehr Fälle betrachten?

Schöne Grüße

P.S. Schreib (ist ja ne Funktion in x).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zündholz
Was passiert nun wenn x < 1 mit



, wobei

Dann steht in der Gleichungskette . Da stört mich noch das Integralzeichen, denn es soll da ja stehen.

Zitat:

und was ist wenn x = 1 ist?
(... Warum kann letzterer Fall nicht eintreten)


Dann ist .
Ich kann allerdings nicht sagen, warum dieser Fall nicht eintritt.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Hängt denn f(0) noch von x ab?

Der andere Fall kann intuitiv nicht auftreten, da das "Integral von 1 bis 1 Null ist", sozusagen also keine Masse auf der 1 liegt und die 1 somit nicht auftritt (Begriff der Nullmenge falls dir das was sagt).
Wenn du das aber auch noch explizit zeigen willst, dann würde ich die Indikatorfunktionen empfehlen, das sind Funktionen folgender Art:



Wobei A Teilmenge von |R ist. Damit kannst du dein Integral aufteilen, falls du Funktionen dieser Art allerdings noch nie gesehen hast, dann würde ich die intuitive Variante als Begründung nehmen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zündholz
Hängt denn f(0) noch von x ab?


Mit anderen Worten:

Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich jetzt (noch mehr) zum Idioten mache, aber f(0) ist doch eine reelle Zahl und wenn ich das integriere kommt da f(0) heraus?... mir nicht klar.

Zitat:

Der andere Fall kann intuitiv nicht auftreten, da das "Integral von 1 bis 1 Null ist", sozusagen also keine Masse auf der 1 liegt und die 1 somit nicht auftritt (Begriff der Nullmenge falls dir das was sagt).
Wenn du das aber auch noch explizit zeigen willst, dann würde ich die Indikatorfunktionen empfehlen, das sind Funktionen folgender Art:



Wobei A Teilmenge von |R ist. Damit kannst du dein Integral aufteilen, falls du Funktionen dieser Art allerdings noch nie gesehen hast, dann würde ich die intuitive Variante als Begründung nehmen.



Die intuitive Begründung genügt, denke ich und das habe ich verstanden.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du schon sagst, f(0) ist eine reele Zahl.
Vielleicht verwirrt dich das f etwas? Schau dir einfach mal eine reele Zahl a an. Dann gilt ja wegen der Linearität des Integrals:



Ist es nun klarer? Was ist in dem Fall dein f und dein a und was hast du nun noch dastehen?

Schöne Grüße
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus werde ich leider nicht schlau.
Dass man die relle Zahl vor das Integral ziehen kann, will mir noch einleuchten.

Den Rest verstehe ich leider nicht: Vermutlich soll das f(x) hier 1 sein? Aber dann käme beim Integrieren ja ax heraus...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast hier ein bestimmtes Integral stehen, was ist denn wenn gilt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, stimmt ja.

.


EDIT:

Ich muss doch nochmal was Anderes nachfragen.

Also für den Fall, dass x=1, würde ja als Integrand f(1) dort stehen; noch habe ich nicht begriffen, wieso dieser Fall nicht auftritt.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grenzfunktion ist fast überall konstant mit Wert .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wundere mich sowieso:

Bei Wikipedia steht, dass die Folge der fast überall gegen f konvergieren muss.

Bei unserer Formulierung des Satzes steht: "[...] und für alle existiere [...]".
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
also wie schon gesagt: intuitiv, ob man nun über [0,1] integriert oder nur über [0,1[ ist egal, da ja das Integral nur über 1 Null ist.
Du kannst ja quasi den Integrationsbereich zerlegen: .
Auf dem Intervall [0,1[ haben wir ja keine Probleme, da dort f(0) rauskommt (das denke ich ist klar, oder?)
So und wenn man sich jetzt das Integral nur über der Menge {1} anschaut dann ist das Null(d.h. "man integriert von 1 bis 1 und somit muss das Integral Null sein").
D.h. die Funktion nimmt zwar den Wert f(1) an, aber da f(1)*0 = 0 ist, braucht uns der nicht weiter zu kümmern.

Allerdings kann man dieses Argunment noch schöner aufschreiben. Ist es nun besser verständlich?
Schöne Grüße

Edit: Zu lang geschrieben. der Limes existiert ja denn f(0) und f(1) existieren.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke Dir sehr, mir ist es verständlich geworden!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »