Homöomorphismus (Topologie)

10.03.2011, 14:24

xemle75ml

Homöomorphismus (Topologie)

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgabe und bin mir, da ich ein Neuling auf dem Gebiet bin, ziemlich unsicher was ich machen soll, bzw. ob das, was ich mache richtig ist:

Sei $\begin{eqnarray*} Ic\mathbb R \end{eqnarray*}$ zusammenhängend und $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und injektiv

z.z.g. $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow f(I) \end{eqnarray*}$ ist ein Homöomorphismus

Als Hinweis in der Aufgabe haben wir bekommen, dass wir zeigen sollen, dass:
$\begin{eqnarray*} f([a,b])=[f(a),f(b)] \forall a,b\in I \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich komme nicht wirklich zu einer vernünftigen Idee. Ich könnte z.B. zeigen, dass jeder der beiden Ausdrücke jeweils Teilmenge des anderen ist.
Aber wie soll das funktionieren?
Wenn ich z.B. bei der rechten Seite anfange, dann mache ich die Voraussetzung: Sei $\begin{eqnarray*} f(y)\in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ und schreibe zusätzlich für bessere Übersicht $\begin{eqnarray*} f([a,b])=\{f(x)|x\in[a,b]\} \end{eqnarray*}$ .
Kann ich nun folgendermaßen argumentieren?
Es ist $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und injektiv woraus folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} f:I\rightarrow f(I) \end{eqnarray*}$ stetig und injektiv ist. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow y\in [a,b] \end{eqnarray*}$ , da sonst die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ verletzt wäre. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kann zudem nicht außerhalb von $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ liegen, da es sonst der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(y) \end{eqnarray*}$ sonst mindestens 2 mal vorkäme (da er durch die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ja bereits auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ vorkommt)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(y)\in f([a,b]) \end{eqnarray*}$
Stimmt die Richtung so?

Sei nun andererseits $\begin{eqnarray*} f(y)\in f([a,b]) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y\in [a,b] \end{eqnarray*}$
Auch hier kann aufgrund von Stetigkeit und Injektivität nur $\begin{eqnarray*} f(y)\in [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

Die Lösung erscheint mir allerdings irgendwie zu simpel, vorallem da ich nicht benutzt habe, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist

Danke schonmal für Hilfe

10.03.2011, 14:27

kiste

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Die Behauptung stimmt leider nicht. Man muss zusätzlich noch f (streng) monoton steigend fordern, ansonsten könnte auch f([a,b]) = [f(b),f(a)] gelten.

Zum Beweis musst du nur benutzen, dass die einzigen zusammenhängenden Teilmengen in IR Intervalle sind und Bilder von zusammenhängenden Teilmengen unter stetigen Funktionen sind zusammenhängend.

10.03.2011, 14:30

xemle75ml

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Ja stimmt, an das Problem mit der strengen Monotonie habe ich garnicht gedacht..
Danke, werde mit Hilfe deines Tipps nochmal selber weiterüberlegen

10.03.2011, 14:55

xemle75ml

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Hm, ich komme grad nicht drauf. Kann ich über den Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ neben Injektivität und Stetigkeit auch die streng wachsende Monotonie vorweist?
Ich komme sonst grad nicht drauf welche Eigenschaften der Zusammenhang sonst noch mit sich bringt.
Es ist mit dem was du sagst klar, dass $\begin{eqnarray*} [f(a),f(b)] \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist, genauso wie $\begin{eqnarray*} f([a,b]) \end{eqnarray*}$ .
Aber wie bringt man das zusammen?

10.03.2011, 18:04

xemle75ml

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kann mir noch wer helfen?

10.03.2011, 18:53

kiste

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Zusammenhang zeigt f([a,b]) = [c,d].
Monotonie lässt dich c=f(a),d=f(b) folgern.

10.03.2011, 21:54

gonnabphd

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Zitat:

Zusammenhang zeigt f([a,b]) = [c,d].

Zusätzlich zum Zusammenhang sollte man vielleicht noch auf die Kompaktheit von [a,b] verweisen. Ansonsten könnte da rein vom Zusammnehang her auch ein halboffenes oder offenes Intervall auf der rechten Seite stehen.

Wink

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