Wahrscheinlichkeit - warum nicht so?

10.03.2011, 16:02

qew

Wahrscheinlichkeit - warum nicht so?

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe hier so eine Aufgabe, die so lautet: Von 100 Menschen, kommen genau 20% aus NRW! Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 3 zufällig gezogenen Personen genau eine aus NRW kommt?

Erst wollte ich das so rechnen:

$\begin{eqnarray*} P = \frac{20}{100} \cdot \frac{80}{99} \cdot \frac{79}{98}\cdot \begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis (21066,67) ist aber Schwachsinn. Kurz danach bin ich auf die richtige Lösung gekommen:

$\begin{eqnarray*} P = \frac{\begin{pmatrix} 20 \\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 80 \\ 1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 100 \\ 3 \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Mit ist aber noch nicht so klar, warum die erste Variante falsch ist. Könnt ihr mir das sagen?

danke

Meine Ideen:
f

10.03.2011, 16:12

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit - warum nicht so?
Weil du bei deinem Ansatz nur die Reihenfolge NXX betrachtest (N=Person aus NRW, X=Person kommt nicht aus NRW)

Es gibt jedoch auch die Kombination XNX und XXN, und da du ohne Zurücklegen ziehst, ist eben $\begin{eqnarray*} P(NXX)\neq P(XXN) \end{eqnarray*}$ .

Rechne die Kombinationen mal einzeln aus und addiere sie, dann kommst du genau auf die richtige Lösung

Deine Variante funktioniert nur beim Ziehen mit Zurücklegen

11.03.2011, 14:17

qew

Auf diesen Beitrag antworten »

ne, mit 100 über 3 beachte ich doch die verschiedenen Reihenfolgen. Es muss aber wohl 3 über 1 heißen. Dann stimmt mein Ansatz!

danke

11.03.2011, 17:15

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von qew
ne, mit 100 über 3 beachte ich doch die verschiedenen Reihenfolgen.

Ja, aber nicht jede Reihenfolge ist gleichwahrscheinlich

Rechne mal nach dass $\begin{eqnarray*} P(NXX)\neq P(XXN) \end{eqnarray*}$ gilt

Zitat:

Original von qew
Es muss aber wohl 3 über 1 heißen. Dann stimmt mein Ansatz!

Nein

11.03.2011, 17:24

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch

Dein Ansatz mit den Binomialkoeffizienten ist (zwar grundsätzlich richtig, aber) ein bisschen falsch.
Du ziehst zwei aus NRW und einen aus sonstwo.

Dann sind die Wahrscheinlichkeiten auch identisch.

@Math1986:
Ohne den Binomialkoeffizienten dahinter würde er wirklich mit fester Reihenfolge spielen.
Aber so multipliziert er mit der Anzahl der Möglichkeiten den einen NRW-ler und die zwei Nicht-NRW-ler auf die drei Plätze anzuordnen, womit er NXX, XNX, XXN abdeckt. Diese Fälle sind natürlich alle gleichwahrscheinlich.

11.03.2011, 17:32

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zellerli
@Math1986:
Ohne den Binomialkoeffizienten dahinter würde er wirklich mit fester Reihenfolge spielen.
Aber so multipliziert er mit der Anzahl der Möglichkeiten den einen NRW-ler und die zwei Nicht-NRW-ler auf die drei Plätze anzuordnen, womit er NXX, XNX, XXN abdeckt. Diese Fälle sind natürlich alle gleichwahrscheinlich.

Stimmt, ihr habt recht, mein Fehler

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit - warum nicht so?

Verwandte Themen