Ker(phi) mit nur einer Gleichung

10.03.2011, 16:38	Zenitx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ker(phi) mit nur einer Gleichung Hi, ich habe folgende lineare Abbildung: $\begin{eqnarray} phi\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2x & y & +3z \\ 4x & -2y & -6z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie man sieht, sind die beiden Gleichungen nach Umformen identisch. Was kann ich dadurch über den Kern von phi sagen? Analog zu einem LGS würde man ja davon ausgehen, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Kann man das so sagen? Danke
10.03.2011, 17:41	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ker(phi) mit nur einer Gleichung Hallo Zentix, Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit einer Gleichung und drei Unbekannten. Dieses lässt sich lösen, indem man einfach zwei Parameter einführt und die Lösungsmenge damit darstellt. Setze zum Beispiel $\begin{eqnarray} z=s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=t \end{eqnarray}$ . Dann kannst Du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ausdrücken. Gruß, Reksilat.
10.03.2011, 17:45	Zenitx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, okay. Danke. Wie drücke ich das dann aus? Kern(phi)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0,5s + 1.5t \\ s \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ oder getrennt nach s und t (oder ist das egal)?
10.03.2011, 17:49	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern ist eine Menge und nicht einfach nur ein Vektor. Man kann das so schreiben: $\begin{eqnarray} {\rm Ker}(\varphi)=\left\{\begin{pmatrix} 0,5s + 1.5t \\ s \\ t \end{pmatrix}\middle\|s,t\in\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray}$
10.03.2011, 18:09	Zenitx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay und was für eine Aussage kann ich über die Dimension treffen? Sind das dann 3, weil ich jede Richtung auf Null bekommen kann, wenn ich s und t entsprechend wähle?
10.03.2011, 18:48	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Dimension 3 wäre, dann müsste der Kern ja schon der ganze Vektorraum sein. Offensichtlich ist er das aber nicht (Man kann Vektoren in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3\setminus{\rm Ker}(\varphi) \end{eqnarray}$ angeben.) Die Dimension ist mindestens 1, da ja zum Beispiel die linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ enthalten ist. Es bleiben also die Möglichkeiten 1 und 2 übrig.
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