Kurvendiskussion ln-Funktion

10.03.2011, 18:55

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion ln-Funktion

Hallo zusammen,

bei der angehängten Aufgabe weiss ich echt nicht, wie ich vorgehen soll

gefragt ist:

a) Ermitteln Sie die Definitionsbereiche für z und t und lösen Sie nach z auf!
b) Untersuchen Sie die Graphen auf Pole, Lücken, Nullstellen sowie die Grenzwerte für t oo !
c) Entwickeln Sie f2 an der Stelle t0 =3 in ein Taylor-Polynom bis zur 1. Potenz !

wär echt klasse wenn mir mal jemand auf die Sprünge helfen würde smile

smile

gruß

10.03.2011, 19:12

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo liegt konkret das Problem? Der $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}_{> 0} \end{eqnarray*}$ definiert. Ermittle diese Fälle, dann kriegst du den Definitionsbereich.

Beim auflösen nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ behandelst du $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ als deine Variable und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als eine beliebige Zahl in ihrem Definitionsbereich.

Ibn Batuta

10.03.2011, 19:27

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wo liegt konkret das Problem?

diese Aufgabe verwirrt mich einfach....

wenn das jetzt etwas stehen würde wie (2x+3)/(x+1), dann würd ich das ja noch hinkriegen, aber dieser brocken da verwirrt mich wie gesagt total....ich "seh" da einfach nicht was ich machen soll unglücklich

unglücklich

10.03.2011, 19:29

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir mal nur die Summanden an, wo ein $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auftaucht. Welche Werte darf man für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Im Anschluss machst du dasselbe für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

10.03.2011, 19:35

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

z>0

t>0

richtig?

??? verwirrt

verwirrt

10.03.2011, 19:37

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du geraten?

Ibn Batuta

Anzeige

10.03.2011, 19:44

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, mir ist durch den kopf gegangen dass ln(0) doch eigentlich keinen sinn ergibt, also muss doch z und t mehr als null sein, oder?

und durch 0 teilen darf man doch auch nicht

10.03.2011, 19:47

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schonmal ein guter Gedankengang.

Für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ stimmt es auch. Der Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ lautet $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_z=\mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray*}$

Aber für den Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ stimmt es noch nicht. Warum? Betrachte mal die Summanden, wo ein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dabei steht nochmal scharf.

10.03.2011, 20:05

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

ah jetzt, ja smile

smile

t>2

10.03.2011, 20:08

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Na also, es geht doch. Der Definitionsbereich für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_t=\{t\in\mathbb{R} \ | \ t>2 \} \end{eqnarray*}$

Und nun löse mal nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf. Salopp formuliert: betrachte die Ausdrücke mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ als würde da eine Zahl stehen.

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:16

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das werd ich mal probieren

ln(1/z) ist doch das selbe wie ln/z oder?

10.03.2011, 20:19

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte dir helfen.

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac 1 z\right)=\ln(1)-\ln(z)=-\ln(z) \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:22

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

ja das hilft auf jeden fall, danke smile

smile

mal sehen ob ichs hinkriege

10.03.2011, 20:32

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ln(z)=(-2ln(t)-ln(t²)+ln(2t)+ln(t-2)+ln(2)):3 \end{eqnarray*}$

soweit i.O. ?

wie krieg ich das z aus dem ln raus? einfach durch ln teilen geht doch nicht, oder? oder irgendwas mit wurzel verwirrt

verwirrt

10.03.2011, 20:33

Cosi-Nuss

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du kannst 1/z auch als z^(-1) schreiben. Dementsprechend kannst du auch so formulieren: ln(z^(-1)) Und wenn du dich nun noch an die Exponentenregel bei Logarithmen erinnerst, kannst du deinen Ausdruck ein bisschen vereinfachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 20:35

Cosi-Nuss

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ln mit der Umkehrfunktion aufheben bzw. rückgängig machen. Und die ist...? Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.03.2011, 20:38

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

das wär dann $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ oder?

??

10.03.2011, 20:38

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht, was du da gemacht hast und beachte bitte diese(n) Cosi-Nuss auch nicht.

$\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-2\ln(t)-\ln(t^2)+\ln\left(\frac 1 z\right)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=0 \end{eqnarray*}$

Wir haben oben schon gesagt, daß $\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac 1 z\right)=-\ln(z) \end{eqnarray*}$ ist.

Das verwenden wir.

$\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-2\ln(t)-\ln(t^2)-\ln(z)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=0 \end{eqnarray*}$

Löse das mal auf.

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:40

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-2\ln(t)-\ln(t^2)-\ln(z)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=0 \end{eqnarray*}$

ja genau so hab ich das hier auch gehabt...

dann muss doch ln(z) und 2ln(z) rüber, oder nicht?

oder krieg ich z auch schon vorher alleine da irgendwie raus?

10.03.2011, 20:42

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Vereinfache doch mal den Term, damit ich sehe, was du gemacht hast.

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:47

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-2\ln(t)-\ln(t^2)-\ln(z)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=0 \end{eqnarray*}$

daraus hab ich dann das gemacht

$\begin{eqnarray*} 2\ln(t)-\ln(t^2)-+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=3\ln(z) \end{eqnarray*}$

und dann durch 3 geteilt

$\begin{eqnarray*} (2\ln(t)-\ln(t^2)-+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)):3=\ln(z) \end{eqnarray*}$

[/quote]

10.03.2011, 20:50

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe beim besten Willen nicht, wie du auf $\begin{eqnarray*} 3\ln(z) \end{eqnarray*}$ kommst. Was ist $\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-\ln(z) \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:53

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer

Hammer

mal wieder die guten alten Vorzeichen-fehler...

da könnt ich mir schon wieder in den A... treten böse

böse

naja ok, dann wissen wir ja woran es lag smile

smile

jetzt muss ich das ln mit der Umkehrfunktion wegmachen, oder?

10.03.2011, 20:55

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir das nochmal korrekt alles aufschreibst, können wir gerne weitermachen, aber ja.. Das $\begin{eqnarray*} \ln(z) \end{eqnarray*}$ kannst du dann mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ potenzieren.

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:00

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

aus

$\begin{eqnarray*} 2\ln(z)-2\ln(t)-\ln(t^2)-\ln(z)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=0 \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} 2\ln(t)-\ln(t^2)-+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=-\ln(z) \end{eqnarray*}$

jetzt ist es richtig, oder? smile

smile

10.03.2011, 21:06

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm es mir nicht übel, aber warum stellst du dich so an?

$\begin{eqnarray*} -2\ln(t)-\ln(t^2)+\ln(2t)+\ln(t-2)+\ln(2)=-\ln(z) \end{eqnarray*}$

Und nun noch mit (-1) durchmultiplizieren und vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \ln(z)=2\ln(t)+\ln(t^2)-\ln(2t)-\ln(t-2)-\ln(2) \end{eqnarray*}$

Nun könntest du die rechte Seite vorher geschickt zusammenfassen...

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:11

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Nimm es mir nicht übel, aber warum stellst du dich so an?

weil mir dieser blöde term einfach zu lang ist....da übersieht man schnell mal was...habs ja schon selber gemerkt....

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Nun könntest du die rechte Seite vorher geschickt zusammenfassen...

ich bin aber nicht geschickt mit mathe....bin froh, wenn ich da irgendwie einigermaßen durchkomme
ich versuch ja, alte defitzite aufzuholen aber das geht leider nicht von heute auf morgen... unglücklich

unglücklich

10.03.2011, 21:20

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Math-invalid
weil mir dieser blöde term einfach zu lang ist....da übersieht man schnell mal was...habs ja schon selber gemerkt....

Damit wollte ich nur sagen, daß du dich konzentrieren sollst. Das ist schon alles.

Also pass mal auf. Die rechte Seite vereinfacht ergibt:

$\begin{eqnarray*} -\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right) \end{eqnarray*}$

Dann steht also da:

$\begin{eqnarray*} \ln(z)=-\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right) \end{eqnarray*}$

Und nun kannste das mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ potenzieren. Was ergibt das?

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:33

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

es war weniger wegen der konzentration, sondern eher weil ich mich beim editieren des codes vertippt habe oder hier ans touchpad gekommen bin beim schreiben smile

smile

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Also pass mal auf. Die rechte Seite vereinfacht ergibt:

$\begin{eqnarray*} -\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right) \end{eqnarray*}$

ja, siehste...auf sowas wär ich echt im Leben nicht gekommen traurig

traurig

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Dann steht also da:

$\begin{eqnarray*} \ln(z)=-\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right) \end{eqnarray*}$

Und nun kannste das mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ potenzieren. Was ergibt das?

sorry, krieg das hier mit latex nicht hin...aber links ist dann e^z und -e^(ausdruck) , oder?

edit: quatsch, das e steht natürlich nicht da

10.03.2011, 21:43

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Ausdruck auf der rechten Seite muß man auch ein bisschen in die Trickkiste greifen. Die kannst du bei Gelegenheit nachlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus...e_Eigenschaften

Zu unserem Problem.

$\begin{eqnarray*} \ln(z)=-\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right) \end{eqnarray*}$

Wir potenzieren nun mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(z)}=e^{-\ln\left( \frac{4(t-2)}{t^3} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \ z=\frac{t^3}{4(t-2)} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:49

Math-invalid

Auf diesen Beitrag antworten »

prima, danke erstmal bis hierher smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »