Injektivität

10.03.2011, 20:45

Shadows

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Injektivität

Hi.

Hab noch leider nen Problem im Bereich Analysis. Monotones Wachstum hab ich verstanden, zum Glück auch, aber mit Injektivität komm ich jetzt nicht so gut zurecht.

Im Skript steht:
Eine funktion f: M -> R heißt injektiv falls für alle x1,x2 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M aus f(x1)=(fx2) folgt x1=x2.

Mehr find ich leider nicht. WAs bedeutet das nun "übersetzt". Ich vermute, dass es heißen soll dass jedem x-Wert nur ein spezifischer y Wert zugeordnet werden soll. Stimmt das oder lieg ich falsch?

Danke.

10.03.2011, 20:48

Ibn Batuta

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Versuche dich mal an folgender Funktion und prüfe, ob die injektiv ist.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

10.03.2011, 20:51

Mulder

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RE: Injektivität

Zitat:

Original von Shadows
Ich vermute, dass es heißen soll dass jedem x-Wert nur ein spezifischer y Wert zugeordnet werden soll.

Das muss sowieso gelten, sonst wäre es keine Funktion. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übersetzt heißt es einfach nur, dass jeder Funktionswert nur höchstens einmal (also von höchstens einem x) angenommen wird. Du kannst dir leicht Beispiele basteln, in denen verschiedene x aus dem Definitionsbereich auf den gleichen y-Wert abgebildet werden.

Edit: Ein solches Beispiel siehe Beitrag über mir.

10.03.2011, 21:07

Shadows

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$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$
Sei x1=1 , x2=-1

f( $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ) = 1² =1 = f( $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ ) = (-1)² = 1

also gilt: nicht injektiv

für [0,+ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ] für x -> x²

gilt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_{1}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt{x_{2}} \end{eqnarray*}$

also x1 = x2 hieraus folgt injektiv oder?

10.03.2011, 21:10

Ibn Batuta

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Aufgrund der Darstellung wird es etwas schwierig zu mutmaßen, aber ich vermute mal, daß du meinst, daß $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ nicht injektiv ist. Das ist korrekt.
Dazu nimmt man an, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv sei und konstruiert ein Gegenbeispiel, wo es nicht ist. Zum Beispiel betrachtet man $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:16

Shadows

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ja, sorry, ich lerns grad noch mit latex.

also mein zweites beispiel stimmt oder? hab das ausm skript und kann da die argumentation nicht so nachvollziehen, daher wäre ich froh wenns mir bitte jemand nochmal kurz erklärt.

Hingegen sowas wie f(x) = 3x ist mir klar, oder $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$

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10.03.2011, 21:27

Ibn Batuta

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Du meinst also folgende Funktion?

$\begin{eqnarray*} g: [0,\infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Ja, die ist injektiv. Warum?

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:28

Shadows

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sorry, habs noch nich mit latex.
sollte Wurzel (x1²) = Wurzel (x2²) heißen
daraus folgt x1 = x2

10.03.2011, 21:38

Ibn Batuta

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Wie heißt die Funktion? So?

$\begin{eqnarray*} h: [0,\infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto \sqrt x \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

10.03.2011, 21:38

Shadows

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Du meinst also folgende Funktion?

$\begin{eqnarray*} g: [0,\infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

Ja, die ist injektiv. Warum?

Ibn Batuta

kannste mal bitte den beweis aufzeigen? kann meine sachen aus skript nicht nachvollziehen

10.03.2011, 21:49

Ibn Batuta

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Seien $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nichtleere Mengen. Sei $\begin{eqnarray*} f : D\to W \end{eqnarray*}$ eine Funktion mit dem Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ und dem Zielbereich $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt injektiv, falls $\begin{eqnarray*} \forall \ x_1, x_2 \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1\ne x_2 \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} f(x_1)\ne f(x_2) \end{eqnarray*}$ gilt.

Hier hast du nun $\begin{eqnarray*} g : [0,\infty)\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} x_1 , x_2 \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1\ne x_2 \end{eqnarray*}$ . Was folgt für $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

10.03.2011, 22:07

Shadows

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falls gilt x1 ungleich x2, dann muss doch auch gelten f(x1) ungleich f(x2).

als beispiel hab ich einfach mal 2 und 4 eingesetzt. Stimmt das so?

10.03.2011, 22:21

Ibn Batuta

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Hm, ne. Beispiele bringen dir da nichts. Es sei denn es wäre nicht injektiv, dann reicht die Angabe eines Gegenbeispiels.

Also wir haben $\begin{eqnarray*} g: [0,\infty)\to\mathbb{R}, x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x_1,x_2 \in [0,\infty): \ f(x_1)=f(x_2) \ \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ .

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x_1)=x_1^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2)=x_2^2 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow x_1^2 = x_2^2 \Leftrightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in[0,\infty) \ \Rightarrow f \ \text{injektiv.} \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

10.03.2011, 22:42

Shadows

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und da man ja eigentlich davon ausgeht , dass x1 ungleich x2 ist, kommt man darauf, dass es injektiv ist oder lieg ich falsch?
Immerhin muss ja dann auch f(x1) ungleich f(x2) sein oder nicht? Mir ist grad noch leicht unverständlich wie man von dem beweis dann darauf kommt, dass es injektiv ist. Das brauch ich noch bissle besser erklärt. Danke

10.03.2011, 22:52

Ibn Batuta

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Lies dir mal die äquivalenten Definitionen von der Injektivität durch. Das ist Punkt 4.5.1.1 Definitionen:
http://www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrb...genschaften.pdf

Ibn Batuta

10.03.2011, 22:55

Shadows

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ok, danke.

jetzt hab ichs gerafft.

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