Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln

10.03.2011, 22:27

Math1986

Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln

Hallo,
könnte mir jemand die Gewichte und Fehler der ersten 4 Newton-Cotes-Formeln nennen?

Ja, ich habe dazu auch selbst nach Materialien gesucht, nur leider sind diese Gewichte in der Literatur teilweise sogar widersprüchlich, so dass ich nach dieser Literatursuche noch verwirrter bin als zuvor geschockt

Für n=2 habe ich die Trapezregel:
$\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac 12,\qquad\alpha_1=\frac 12 \end{eqnarray*}$
Die ist klar soweit, auch dass das die Quadraturformel die Fläche eines Rechtecks wiedergibt.

Bei der Simpson-Regel (Kepplersche Faßregel) (n=2)fängt das Durcheinander an:
[1], [2],[4], [5], [6]: $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac 16,\qquad\alpha_1=\frac 46\qquad\alpha_2=\frac 16 \end{eqnarray*}$
[6]: $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac 13,\qquad\alpha_1=\frac 43\qquad\alpha_2=\frac 13 \end{eqnarray*}$
(bis auf den Nenner also gleich)

Das Interessante ist dass [3] zunächst die Brüche mit 3 im Nenner herleitet, und dies auch überzeugend vorrechnet, anschliessend jedoch behauptet dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n\alpha_i=n \end{eqnarray*}$ ist (was sein Ergebnis bestätigt), jedoch später auch die Darstellung mit der 6 im Nenner fortführt und sich somit irgendwie selbst wiederspricht.. (damit komme ich auf eine Summe von 1, nicht von 2)

Hat hier irgendjemand eine verlässliche Literaturquelle in der die Formeln und die Restgleider alle korrekt aufgelistet sind?

PS: Dass ich die Gewichte anschliessend noch mit h multiplizieren muss ist klar, mir gehts um die Vorfaktoren

[1] Skript Professorin Charina (Folie 4) (unser "offizielles" Skript)
[2] Skript Professor Rannnacher (Folie 89)
[3] "Numerische Mathematik 1" (8. Auflage) (Josef Stoer)
[4] "Numerische Mathematik" (2. Auflage) (Martin Hermann)
[4] "Numerik" (Günter Bärwolff)
[5] "Numerische Mathematik" (4. Auflage) (Robert Schaback & Helmut Werner)
[6] Wikipedia: Newton-Cotes-Formeln

10.03.2011, 22:35

tigerbine

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln
Es gibt nicht "die" Gewichte. Tabellarisiert werden gerne die Gewichte für ein Integral auf [0,1]. Diese kann man für andere Integrationsgrenzen umrechnen. Das sollte dann auch die Diskrepanz in der Summe erklären. Manche Autoren nehmen imho auch [-1,1] für die Tabelle.

[WS] Numerische Integration - Theorie

10.03.2011, 23:05

Math1986

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln

Zitat:

Original von tigerbine
Es gibt nicht "die" Gewichte. Tabellarisiert werden gerne die Gewichte für ein Integral auf [0,1]. Diese kann man für andere Integrationsgrenzen umrechnen. Das sollte dann auch die Diskrepanz in der Summe erklären. Manche Autoren nehmen imho auch [-1,1] für die Tabelle.

[WS] Numerische Integration - Theorie

Ahja,,, das würde zumindest erklären weswegen die Autoren andere Gewichte heraushaben...

D.h. wenn ich ein anderes Intervall zugrunde lege dann habe ich andere Stützstellen und somit auch andere Gewichte, da die Gewichte vom Intervall abhängen, richtig?

Wenn ich also das Integral über [a,b] berechnen möchte und die Newton-Cotes-Regeln für bspw [-1,1] gegeben habe dann müsste ich mein Integral entsprechend transformieren, richtig?

Zu der Fehlerdarstellung hätte ich noch eine Frage: Kannst du dir hier mal die Fehlerabschätzung der Simpson-Regel ansehen und mir erklären wie diese zustande kommt?
Also speziell weshalb sie die 2. Ableitung verwendet, mMn müsste da die 4. hin, da gerade n einen höheren Genauigkeitsgrad haben, und man sich an hand der Fehlerabschätzungen den Genauigkeitsgrad herleiten kann

10.03.2011, 23:19

tigerbine

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln
Schau mal hier:
[WS] Numerische Integration - Beispiele

In der Formel ist das Transformieren ja mit berücksichtigt. Wieso hast du [6] doppelt genannt? Was steht im alten Stoer [3]?

10.03.2011, 23:36

Math1986

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln

Zitat:

Original von tigerbine
Schau mal hier:
[WS] Numerische Integration - Beispiele

In der Formel ist das Transformieren ja mit berücksichtigt. Wieso hast du [6] doppelt genannt? Was steht im alten Stoer [3]?

Also nach deiner Fehlerabschätzung erhalte ich
$\begin{eqnarray*} n=2:\qquad |I(f)-I_2(f)|\leq \frac{(b-a)^5}{2880}\cdot \max_{x \in[a,b]}~|f^{(4)}(x)| \end{eqnarray*}$
Stoer und die anderen Bücher bestätigen dies.

D.h. in dem von mir verlinkten Skript ist definitiv ein Tippfehler? Kannst du das so bestätigen?

Die Herleitung mit dem direkten Transformieren der Gewichte hatte ich so nicht, ich hatte nur das Verfahren dass man die Integralgrenzen transformiert, was aber auf das selbe Enderbegnis führt

10.03.2011, 23:37

tigerbine

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln
Ja, bestätige ich.

Zitat:

[6]: $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac 13,\qquad\alpha_1=\frac 43\qquad\alpha_2=\frac 13 \end{eqnarray*}$

Das meinte ich. Wo steht das?

10.03.2011, 23:42

Math1986

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln

Zitat:

Original von tigerbine
Ja, bestätige ich.

Danke

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

[6]: $\begin{eqnarray*} \alpha_0=\frac 13,\qquad\alpha_1=\frac 43\qquad\alpha_2=\frac 13 \end{eqnarray*}$

Das meinte ich. Wo steht das?

Das steht auch im Stoer, 8. Auflage, Seite 149, dort leitet er das her (in der Tabelle auf der nächsten Seite steht das dann mit der 6 im Nenner).

Er schreibt dort auch dass die Gewichte nicht von den Integralgrenten a,b abhängen, dabei erhalte ich doch für [0,1] andere Stützstellen und somit auch andere Gewichte als für [-1,1], wie hat er diesen Satz gemeint?

Ist das so gemeint dass er vorher auf eben dieses Intervall transformiert hat?

Meine subjektive Meinung über dieses Buch nimmt stark ab unglücklich

11.03.2011, 00:11

tigerbine

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RE: Gewichte der abgeschlossenen Newton-Cotes-Quadraturformeln
Also, allgemeine Idee war eine Formel der Art: Summe von gewichteten Auswertungen der Funktion f auf [a,b]

$\begin{eqnarray*} I_n(f) &&=\int_a^b~p_n(x)~dx=\int_a^b~\Bigl(\sum_{j=0}^n~l_j(x)\cdot y_j \Bigr) = \sum_{j=0}^n \Bigl(f(x_j) \cdot \int_a^b~l_j(x)~dx \Bigr) = \\&& =\sum_{j=0}^n~\alpha_j \cdot f(x_j) \quad \text{mit } \quad \alpha_j:=\int_a^b~l_j(x) dx \end{eqnarray*}$

Wir sehen, die Gewichte hängen von a und b. Das ist doof. Wir wollen nicht jedes Mal ein Integral berechnen. Wir hätten gerne feste Gewichte. Wie können wir das erreichen? Bei den abgeschlossen NCf ergab sich der Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} \alpha_j=\int_a^b~l_j(x)~dx \stackrel{\mathrm{Beweis}}= (b-a) \cdot \int_0^1~\prod_{k=0 \atop k \neq j}^n \frac{(nt-k)}{(j-k)}~dt = (b-a) \cdot \alpha_j^{(1)} \end{eqnarray*}$

Dabei sind die Gewichte $\begin{eqnarray*} \alpha_j^{(1)} \end{eqnarray*}$ eben hier für das Intervall [0,1] bestimmt. Die Anpassung erfolgt dann über den ausgeklammerten Term (b-a). Die Transformation steckt in dem Beweis drin. Nun ist es noch Geschmacksache, wie man die Formel notiert.

$\begin{eqnarray*} I_2(f)&&=\alpha_0 \cdot f(x_0) + \alpha_1\cdot f(x_1) + \alpha_2\cdot f(x_2)= \\ && = \frac{b-a}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot f(a) +\frac{b-a}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot f(\frac{a+b}{2})+\frac{b-a}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot f(b) = \\ &&= \frac{b-a}{6}\cdot \Bigl\{ f(a) + 4\cdot f(\frac{a+b}{2}) + f(b)\Bigr\} \end{eqnarray*}$

Manche tabellarisieren daher 1/6, 4/6, 1/6, andere klammern 1/6 noch aus und tabellarisieren 1,4,1. Und wieder andere klammern nur 1/2 aus. Ich weiß, dass ich mich damals auch über die uneinheitliche Notation geärgert habe. Was bleibt ist, in der Formel muss es eben durch den (b-1) Term im Nenner ausgeglichen werden. Motiviert kann dies durch die Maschenweite sein

$\begin{eqnarray*} x_j=a+j\cdot h \qquad \forall j = 0,...,n \qquad \text{und } \quad h:=\frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$

Hier ist ja n=2. Imho sind das nur Vorlieben des jeweiligen Autors. WICHTIG: Die Gewichte alleine reichen nicht. Man muss sie immer zusammen mit der Formel sehen.

Ich habe nur den aktuellen Stoer/Burlisch. Motivation ist dort auch, die Gewichte unabhängig von a und b zu machen. Dort wurden sie eben direkt in Bezug zu n=2 gestellt. Und über [0,2] ([0,n]) integriert.

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