Hyperbelberechnung aus Brennpunkt und Punkt

10.03.2011, 22:59

Aquila

Hyperbelberechnung aus Brennpunkt und Punkt

Meine Frage:
Angabe: Von eine Hyperbel in 1. Hauptlage kennt man den Brennpunkt F (3/0) und einen Punkt P (5/4). Ermittle die Hyperbelgleichung.

Meine Ideen:
So mein Ansatz dazu ist:

|PF1-PF2|=2a

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

würde heißen 2a=6

a=3
aber aus dem Brennpunkt kann man doch ablesen das: e=3;
und e ist im Rechtwinkligen Dreieck a,b,e die Hypothenuse

deswegen kann a und e nicht gleich sein....

wo liegt mein Fehler?

lg Aquila

10.03.2011, 23:15

riwe

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RE: hyperbelberechnung aus Brennpunkt und Punkt
setze den punkt in die hyperbelgleichung ein.
die 2. beziehung zwischen a und b hast du mit e

10.03.2011, 23:23

Aquila

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der zussamenhan ist: e^2=a^2 +b^2

wenn ich jetzt nehme:
a=3
e=3
9= 9 +b^2

b=0 das kann nicht sein a kann nciht gleichlang wie e sein

11.03.2011, 00:32

mYthos

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Du musst den Punkt (5; 4) in die Hyperbelgleichung (nicht in die Definitionsgleichung) einsetzen! Kennst du die allgemeine Hyperbelgleichung (der Hyperbel in Hauptlage) eigentlich?
Dann, die zweite Gleichung, sie lautet $\begin{eqnarray*} a^2 + b^2 = 9 \end{eqnarray*}$

Bemerkung: Deine Vektorbeziehungen sind undurchsichtig, vorsichtig gesagt, eigentlich ist das Murks.
In der Leitstrahlen-Definition muss man ausserdem mit den Beträgen arbeiten, denn es geht ja um die Längen, deren Differenz 2a ist.

mY+

11.03.2011, 00:53

Aquila

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Die Hyperbelgleichung der ersten Hauplage ist meines wissensn nach:

$\begin{eqnarray*} b^2*x^2+a^2+y^2=a^2*b^2 \end{eqnarray*}$

wenn ich meinen Punkt einsetze wird das zu

$\begin{eqnarray*} b^2*25+a^2+16=a^2*b^2 \end{eqnarray*}$

dann drücke ich mir aus: $\begin{eqnarray*} a^2=9-b^2 \end{eqnarray*}$ und setze das ein:

$\begin{eqnarray*} b^2*25+(9-b^2)*16=(9-b^2)*b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25*b^2+144-16*b^2=9*b^2-b^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^4=144 \end{eqnarray*}$

b=3,5

stimmt das jetzt so? Mich macht das b^4 da doch sehr stutzig....

Zu der Leitstrahlen Definition bzw meinen Murks dazu, muss ich zu meiner Verteidigung sagen in meiner Formelsammlung steht: $\begin{eqnarray*} |\vec{XF1}-\vec{XF2}|=2a \end{eqnarray*}$

also erst die Vektoren berechnen und dann erst den Betrag davon nehmen...

11.03.2011, 12:21

mYthos

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Nein, deine Hyperbelgleichung stimmt so nicht. Sie lautet richtig

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$

Du hast also zwei Fehler da drin, denn auf das Minus hast du auch vergessen.
Den einen Fehler hast du offensichtlich später wieder übergangen.

Somit ist

$\begin{eqnarray*} 25b^2 - 16a^2 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$

In weiterer Folge bekommst du zwar eine Gleichung 4. Grades, diese ist jedoch biquadratisch in $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , kann also mit der Auflösungsformel der quadratischen Gleichung behandelt werden.

mY+

11.03.2011, 13:18

Aquila

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ähm... ja... der eine Fehler $\begin{eqnarray*} a^2+y^2 \end{eqnarray*}$ war vertippt bins nciht gewöhnt am pc formeln zu tippen...

und den anderen Teil hab ich mir falsch aus dem Gedächtnis hervorgerufen... man sollte sachen nachschauen auch wenn man es glaubt zu wissen^^

damit komm ich dann auf $\begin{eqnarray*} b^4+32b^2-144=0 \end{eqnarray*}$

ich muss gestehen mir sagt jetzt biquadratisch nichts?

du meinst mit der Lösungsformel:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=1,b=32,c=-144 \end{eqnarray*}$

da würde ich als Ergebnisse bekommen 4 und -36

das verwirrt mich grad erst recht... es kann doch für eine Hyberbel nicht zwei b's geben?
Oder kann ich die negative Lösung ausschliesen... außerdem währe 4 immer noch größer als die 3 von e...

aja erstmal danke für die Hilfe Mythos...

11.03.2011, 13:54

mYthos

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Die Gleichung ist biquadratisch, also hier besser gesagt quadratisch in $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , so kann die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden. Zur besseren Übersicht kannst du ja $\begin{eqnarray*} b^2 = u \end{eqnarray*}$ setzen (Substitution):
-->
$\begin{eqnarray*} u^2 + 32u - 144 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun aus den beiden u-Werten rückwärts $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ berechnen.

Somit ist $\begin{eqnarray*} b^2 = 4 \end{eqnarray*}$ ODER $\begin{eqnarray*} b^2 = -36 \end{eqnarray*}$

Nun kann es bei manchen Aufgaben durchaus sein, dass es mehrere Lösungen gibt, warum sollte es das nicht geben?
Hier allerdings ist eine der beiden Lösungen ausgeschlossen. Welche und warum?

Hinweis:
Das Quadrat von b ist 4, nicht b selbst!

Und noch etwas: wäre ohne h

mY+

11.03.2011, 14:23

Aquila

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Woran erkenne ich eine biquadratische Gleichung? Daran das nur gerade exponenten vorkommen (in dem Fall $\begin{eqnarray*} b^4 und b^2 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt b will

$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{4} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b=\sqrt{-36} \end{eqnarray*}$ da gibt es keine reelle Lösung

bleibt nurmehr $\begin{eqnarray*} \pm 2 \end{eqnarray*}$ und da es sich hier um eine länge handelt ist die Lösung 2 bzw bei der hyberbel in der 1. Hauptlage kann b nach "oben" und nach "unten" gehen, gibt es deswegen die zwei Lösungen?

11.03.2011, 21:22

mYthos

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Letzteres ist dennoch nur eine Lösung, weil sie nur eine Hyperbel bezeichnet, egal nun, ob b nach oben oder unten aufgetragen wird. Es bleibt doch dieselbe Hyperbel.
Hier gibt es eben nur die eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} b^2 = 4 \end{eqnarray*}$ , die andere ist nicht reell, richtig.

P.S.: Biquadratische Gleichungen enthalten allgemein nur die Potenzen 2 und 4 von x, so ist es (sie sind sozusagen quadratisch im Quadrat).

mY+

12.03.2011, 08:43

Aquila

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Sehr gut danke für die hilfe...

Noch eine Frage dazu das ganze muss doch mit Vektoren über die bedindung $\begin{eqnarray*} |PF1-PF2|=2a \end{eqnarray*}$ auch zu lösen sein oder?

Mich würde jetzt trotzdem noch interesieren wo mein Ansatz dazu falsch ist

13.03.2011, 23:15

mYthos

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Du darfst NICHT die Vektoren direkt subtrahieren und dann den Betrag bilden - das ist falsch - sondern es sind jeweils erst die Beträge beider Vektoren zu bilden und diese dann zu subtrahieren. Mit diesem Verfahren leitest du übrigens dann wieder die Gleichung der Hyperbel her (trägst also Eulen nach Athen).

mY+

14.03.2011, 13:42

Aquila

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RE: Hyperbelberechnung aus Brennpunkt und Punkt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das heißt ich benötige von diesen zwei Vektoren den Betrag?

das wären dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{80} -\sqrt{20} \end{eqnarray*}$

da kommt bei mir aber 4,5 heraus...

Da gehts mir jetzt nicht um kompliziert oder nicht kompliziert sondern um die Möglichkeit....

14.03.2011, 13:52

mYthos

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RE: Hyperbelberechnung aus Brennpunkt und Punkt

Zitat:

Original von Aquila
...
da kommt bei mir aber 4,5 heraus...
...

Und, was gefällt dir daran nicht? Eigentlich ist das ja 4,48. Und das soll doch 2a sein, und a haben wir ja schon mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 5 \approx 2,24 \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Noch genauer: Zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \sqrt{80} - \sqrt{20} = 2 \sqrt 5 \end{eqnarray*}$

links teilweise radizieren:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{80} = 4 \sqrt 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{20} = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

14.03.2011, 14:42

Aquila

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hmm... ja genau stimmt ja... hab jetzt irgendwie ans b gedacht (das ja 2 ist)

So damit sind zu diesem Thema sämtliche meiner klar.. äh.. unklarheiten beseitigt...

Besten dank Mythos das du dir die Zeit dafür genommen hast und es mir erklärt hast.

lg Aquila

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