Fehlerquadratsumme per Gauß ermitteln

11.03.2011, 00:05

donferrnando

Fehlerquadratsumme per Gauß ermitteln

Hallo alle miteinander. Möchte mich auch gleich mal Vorstellen. Mein name ist Robert und ich studier im 1.Semester Agrarwissenschaften. Leider ist Mathe eins meiner Module in welchen in eine Prüfung ablegen muss. War noch nie ein Mathe-Crack.
Nun hab ich heut eine Aufgabe gerechnet deren Aufgabentyp lautet, Näherungsweise lösung eines nichtlösbaren Systems und dann folgende Gleichungen:

x + 10y = -2
x + 20y = 0,5
x + 30y = 1
x + 40y = 4,5

Vorgehensweise, die von mir erwartet wird ist mir klar, auch mit dem rechnen klappts und ich bekomme am Ende meine Fehlerquadratsumme (FQS) raus. Ich hab nun eine Verständnissfrage an euch, weil mir eine Sache unklar ist. Um euch die Frage zu stellen erkläre ich euch am einfachsten wie ich an den Punkt komme wo's bei mir mit dem Verständnis hapert.
Zuerst erstelle ich aus den Gleichungen eine Koeffizientenmatrix A. Danach multipliziere ich A mit seiner Transponierten A^T. Das Ergebnis ergibt dann meine Matrix mit der ich den Gauß-Algorythmus durchführe. Und hier kommt nun meine Frage: Darf ich in diesem Fall die Zeilen meiner Matrix vertauschen um mir den Rechenweg mit Gauß einfacher zu machen. Bei normalen Aufgaben Marke bestimme das Ergebnis mit Gauß ist das kein Problem. Wenn ich hier aber die Zeilen vertausche komme ich am Ende auf unterschiedliche FQS. Ein Rechenfehler liegt nicht vor, hab beide Varianten zwei mal gerechnet und bin auf die selben Ergebnisse gekommen.
Was sagt ihr dazu? Vielen Dank schonmal für Antworten.

Gruß, Robert.

11.03.2011, 00:51

Math1986

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RE: Fehlerquadratsumme per Gaus ermitteln

Zitat:

Original von donferrnando
Darf ich in diesem Fall die Zeilen meiner Matrix vertauschen um mir den Rechenweg mit Gauß einfacher zu machen. Bei normalen Aufgaben Marke bestimme das Ergebnis mit Gauß ist das kein Problem. Wenn ich hier aber die Zeilen vertausche komme ich am Ende auf unterschiedliche FQS. Ein Rechenfehler liegt nicht vor, hab beide Varianten zwei mal gerechnet und bin auf die selben Ergebnisse gekommen.

Die Zeilen darfst du vertauschen, musst alelrdings, wie beim normalen Gauß auch, die Einträge des Lösungsvektors genauso vertauschen, ist das der Fehler?

11.03.2011, 00:52

Dopap

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ich nehme an,dass du von links mit $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ durchmultiplizierst :

$\begin{eqnarray*} A^T A \binom x y =A^T b \Rightarrow G\binom x y = b^* \end{eqnarray*}$ wobei G die Grammsche Matrix ist. Das ist nun lösbar, in dem Sinne dass die Fehlerquadratsumme ein Minimum annimmt.
Zeilen vertauschen ist immer erlaubt, Zeile meint aber auch den entsprechenden Wert im
Vektor b oder b*.
War das dein Fehler?

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