Integral berechnen

11.03.2011, 11:05

Gast11022013

Integral berechnen

Meine Frage:
Aufgabe in der Analysis 3 Klausur (Maß- und Integrationstheorie) war es, dieses Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} (\int_x^{\pi} \frac{\sin(y)}{y} dy) dx \end{eqnarray*}$ .

Als Hinweis war noch gegeben, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(y)}{y} \end{eqnarray*}$ keine elementare Stammfunktion hat.

Ich weiß überhaupt nicht, wie man dieses Monstrum berechnen soll!

Meine Ideen:
...

11.03.2011, 11:46

Leopold

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Zunächst ist der Integrand bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzbar, wie etwa die Reihenentwicklung der Sinusfunktion zeigt. Alle guten Sätze der Integrationslehre sind somit anwendbar.

Jetzt fasse das Doppelintegral als Integral über einem zweidimensionalen Bereich in einem $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem auf. Skizziere diesen Bereich. Verwende Fubini.

11.03.2011, 11:52

Gast11022013

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Zitat:

Original von Leopold
Zunächst ist der Integrand bei $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ stetig ergänzbar, wie etwa die Reihenentwicklung der Sinusfunktion zeigt. Alle guten Sätze der Integrationslehre sind somit anwendbar.

Was bedeutet stetig ergänzbar und wieso gelten dann alle "guten" Sätze der Integrationstheorie, wenn dies für y=0 der Fall ist?

Zitat:

Jetzt fasse das Doppelintegral als Integral über einem zweidimensionalen Bereich in einem $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem auf. Skizziere diesen Bereich. Verwende Fubini.

Hier wird doch integriert über $\begin{eqnarray*} [0,\pi]\times [x,\pi] \end{eqnarray*}$ ?

11.03.2011, 12:08

Leopold

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Willst du nun in diesem Board eine Antwort haben oder in jenem anderen?

Was stetig ergänzbar heißt, sollte jemandem, der inzwischen bis zur Integrationstheorie vorgedrungen ist, bekannt sein. Wenn nicht, dann schau in deinen Unterlagen nach.

Viele Sätze der Integrationstheorie (z.B. Vertauschbarkeit von Integration und Grenzprozessen) gelten ja nur unter eingeschränkten Bedingungen. Ich wollte hier nur darauf hinweisen, daß wegen der Stetigkeit des Integranden Fubini angewendet werden darf.

Du mußt die Reihenfolge der Integrationen beachten. Zunächst wird ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ fest gewählt (äußere Integration). Markiere das auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse. Dann wird zu diesem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integriert (innere Integration). Zeichne in der Skizze die zugehörige Vertikalstrecke ein.
Und jetzt beachte, daß zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine solche Vertikalstrecke gehört. Und alle Vertikalstrecken zusammen bilden eine hübsche elementargeometrische Figur.
Und Fubini sagt, daß du das auch gerade anders herum aufziehen kann: erst ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wählen und dann über die passende Horizontalstrecke integrieren. Natürlich mußt du dich dabei auf dieselbe Figur beziehen.

11.03.2011, 12:15

Gast11022013

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Ich habe eine Frage an Dich:

Kannst Du mir vielleicht den Satz von Fubini erklären und was gelten muss, damit man ihn anwenden kann? Ich habe mir schon viele Definitionen durchgelesen, aber werde daraus nicht schlau.

11.03.2011, 12:18

Leopold

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Das habe ich gerade gemacht.
Jetzt zeichne die Figur, die ich beschrieben habe, und jammere nicht!
Wenn dir dabei etwas nicht klar ist, dann stelle eine konkrete Frage dazu.

11.03.2011, 12:23

Gast11022013

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Ich sehe nicht, worauf Du hinaus willst.

Ich zeichne halt zu jedem x eine vertikale Strecke bis zu dem entsprechenden y - oder wie? Da kommt dann - je nachdem, wie lang die Strecken sind irgendeine Figur heraus... bzw. Fläche. unglücklich

11.03.2011, 12:29

lgrizu

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Zitat:

Original von Leopold
Willst du nun in diesem Board eine Antwort haben oder in jenem anderen?

Wie ist das zu verstehen?

Hat Dennis die Frage auch in einem anderen Board gepostet?

Damit ist hier geschlossen Crossposting.

Es ist unhöflich den Helfern gegenüber, seine Frage in mehreren Foren zeitgleich zu stellen.

Edit: Wenn Fragen sind, PN an mich.

Edit 2: Wieder geöffnet. Bitte halte dich aber in Zukunft an das Boardprinzip.

11.03.2011, 12:43

Leopold

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(Danke, daß hier wieder geöffnet wurde. Dennis wird künftig hoffentlich mit offenen Karten spielen.)

Die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Werte der Strecke reichen ja nur von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (siehe inneres Integral).

Beispiel:

1. $\begin{eqnarray*} x = 0{,}2 \end{eqnarray*}$

2. Dazu gehören die $\begin{eqnarray*} y \in \left[ 0{,}2 \, ; \, \pi \right] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt zeichne alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit 1. und 2. Diese bilden eine Strecke im Koordinatensystem.

Und wenn du diese Strecke gezeichnet hast, machst du dieselbe Prozedur für $\begin{eqnarray*} x = 0{,}7185 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x = 1{,}400862 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x = 3{,}1415832 \end{eqnarray*}$ und für ...

Was für eine Figur bilden alle diese Strecken?

11.03.2011, 13:33

Gast11022013

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Die bilden ein Dreieck.

11.03.2011, 13:43

Leopold

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Genau. Und mit welchen Ecken?

Bezeichnen wir das Dreiecksgebiet mir $\begin{eqnarray*} \triangle \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int \limits_0^{\pi} \int \limits_x^{\pi} f(x,y)~\dd y~\dd x \ = \ \int \limits_{\triangle} f(x,y)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$ (vielleicht schreibt ihr statt $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \dd \lambda^2 \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich)

Und das Flächenintegral kannst du nun auch anders herum auflösen, indem du außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrierst (welches Intervall durchlaufen die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?) und innen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (welches Intervall $\begin{eqnarray*} I(y) \end{eqnarray*}$ durchlaufen die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?). Das sagt gerade Fubini.

11.03.2011, 13:56

Gast11022013

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Zitat:

Original von Leopold
Genau. Und mit welchen Ecken?

Die Ecken sind die Punkte $\begin{eqnarray*} (0,0), (0,\pi),(\pi,\pi) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Bezeichnen wir das Dreiecksgebiet mir $\begin{eqnarray*} \triangle \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \int \limits_0^{\pi} \int \limits_x^{\pi} f(x,y)~\dd y~\dd x \ = \ \int \limits_{\triangle} f(x,y)~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$ (vielleicht schreibt ihr statt $\begin{eqnarray*} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \dd \lambda^2 \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich)

Genau diesen Schritt hatte ich nie verstanden, sehr vielen Dank.

Zitat:

Und das Flächenintegral kannst du nun auch anders herum auflösen, indem du außen über $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ integrierst (welches Intervall durchlaufen die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ?) und innen in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (welches Intervall $\begin{eqnarray*} I(y) \end{eqnarray*}$ durchlaufen die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?). Das sagt gerade Fubini.

y kann jeden Wert zwischen 0 und pi annehmen (oder?)
Die x sind dann zwischen 0 und y.

Und kann man deswegen schreiben $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} (\int_0^y \frac{sin(y)}{y} dx)dy \end{eqnarray*}$ ?

Endergebnis dann: 2

12.03.2011, 10:42

Gast11022013

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Abschließend würde ich noch gerne wissen, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit man den Satz von Fubini anwenden kann - und ob diese hier erfüllt sind. Bitte nicht auf Wikipedia verweisen, das habe ich mir schon alles 100 Mal durchgelesen.

[Das zu erkennen, ist ja eigentlich der erste Schritt und das ist mir noch nicht ganz klar.]

14.03.2011, 11:47

Gast11022013

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RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} (\int_x^{\pi} \frac{\sin(y)}{y} dy) dx \end{eqnarray*}$ .

Es hat sich also jetzt ergeben, dass man hier Fubini anwendet, was oben gemacht wurde.

Mal zurück zum Anfang: Woran sieht man, dass man hier Fubini anwenden kann?
Oder anders gefragt: Sind hier alle Voraussetzungen des Satzes von Fubini erfüllt und wie beweist man das?

21.03.2011, 13:08

Gast11022013

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Wenn ich das richtig verstanden habe, muss man Folgendes zeigen, damit man weiß, dass man den Satz von Fubini hier auch tatsächlich anwenden kann:

1. $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sin(y)}{y} \end{eqnarray*}$ ist eine reelle meßbare Funktion.

Das ist hier der Fall, da in Zähler & Nenner jeweils stetige, also meßbare Funktionen stehen.

2. $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ ist bezüglich des Produktmaßes integrierbar, d.h. $\begin{eqnarray*} \int_{[0,\pi]\times [x,\pi]} |f(x,y)| d(x,y)<\infty \end{eqnarray*}$ .

Um diese Integrierbarkeit zu kontrollieren, kann man den Satz von Tonelli heranziehen und es reicht zu kontrollieren, ob beispielsweise

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi} \int_0^{y} |\frac{\sin(y)}{y}| dx dy \end{eqnarray*}$ existiert bzw. endlich ist. Wie kann man das zeigen? Vielleicht, da $\begin{eqnarray*} |\sin(y)|\leq |y| \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \leq \int_0^{\pi} \int_0^y \frac{y}{y} dx dy=\frac{\pi^3}{3}<\infty \end{eqnarray*}$ ?

Demnach darf man die Integrale vertauschen und wie oben rechnen, da m.E. alle Voraussetzungen des Satzes von Fubini erfüllt sind.

Ist das korrekt?

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