Rechtsseitiger oder linksseitiger Gauß-Test?

11.03.2011, 12:34	CarinaMaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechtsseitiger oder linksseitiger Gauß-Test? Meine Frage: Hi! Ich bin gerade auf ein Problem gestoßen, bei dem meine eigene Logik und die der Lösung auseinanderklaffen. Ein Getränkehersteller benutzt eine Abfüllanlage mit normalverteilter Abfüllmenge (Standardabweichung 6 ml) zum Abfüllen von O-Saft in 700ml-Flaschen (mü=700). Die mittlere Abfüllmenge mü kann der Hersteller selbst einstellen. Eine Verbraucherschutzorganisation vermutet, dass die 0,7L-Flaschen des Herstellers im Mittel ZU WENIG Saft enthalten. Anhand einer Stichprobe von 25 Flaschen (n=25) möchte die Organisation ihre Vermutung überprüfen. Die Stichprobe liefert eine mittlere Abfüllmenge von 698 ml (xquer= 698) Meine Ideen: Ich würde intuitiv sagen, dass in diesem Fall ein LINKSSEITIGER Gauß-Test vorliegt, da mich als Verbraucherschutzorganisation ja nur interessiert, ob ZU WENIG abgefüllt wird. Wenn zu viel abgefüllt wird, kommt das ja dem Konsumenten zu Gute. Die MUSTERLÖSUNG sagt jedoch, dass es sich um einen rechtsseitigen Test handelt. 1.Kann ich mit meiner Art der Überlegung entscheiden, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt? 2.Ich erinnere mich, dass unser Prof einmal erwähnt hat, man solle den Test so wählen, dass der Alpha-Fehler der gravierendere ist. Wie kann man das verstehen?
11.03.2011, 14:12	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechtsseitiger oder linksseitiger Gauß-Test? Hallo, Also das mit: "der Alpha Fehler soll der Gravierendere sein", ist vermutlich gemeint, dass der Fehler 2.Art kleiner sein soll als der Fehler 1.Art (alpha). Der Fehler 2.Art gibt immer die Wahrscheinlichkeit für einen peinlichen Irrtum (also Alternative wird gewählt obwohl sie gar nicht vorliegt), was hier wäre: man sagt es wird zu wenig abgefüllt, obwohl das gar nicht der Fall ist. Deshalb hätte ich auch gesagt dass die $\begin{eqnarray} H_0:~ m \ge m_0 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} H_1:~ m < m_0 \end{eqnarray}$ getestet wird, da eben peinliche Irrtum in dem falsch beschuldigen besteht. Ein anderes Indiz (so fern ich jetzt keinen Schmarrn erzähle?!) ist ja das bei der Nullhyphotese das m0 immer mit dabei ist und da zu WENIG bedeutet m0 ist nicht mit drin, kann es sich in dem Fall auch nur um die Alternative handeln. Ich weiß allerdings nicht ob es noch andere Entscheidungsregeln für das Aufstellen der Hyphotese/Alternative gibt. Mehr kann ich leider dazu nicht sagen. Schöne Grüße
11.03.2011, 14:15	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechtsseitiger oder linksseitiger Gauß-Test? Ich nehme mal an, mit links- bzw. rechtseitigem Test meinst du folgendes: linksseitig $\begin{eqnarray} H_0: \quad X \leq 700 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \quad X > 700 \end{eqnarray}$ rechtsseitig $\begin{eqnarray} H_0: \quad X \geq 700 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \quad X < 700 \end{eqnarray}$ Dabei sei X die Zufallsgröße für die Füllmenge. Aus dem Grundverständnis dessen, was ein Hypothesentest leisten kann und was er nicht leisten kann, ergibt sich, dass hier nur ein rechtsseitiger Test sinnvoll ist. Ein Hypothesentest kann die Nullhypothese ablehnen oder nicht ablehnen. Er kann aber die Nullhypothese nicht bestätigen. Wenn der Test die Nullhypothese nicht ablehnt, heißt das nicht, das sie vermutlich richtig ist. Es heißt lediglich, dass zwischen der Nullhypothese und dem Ergebnis der Stichprobe kein eklatanter Widerspruch besteht. Wird dagegen die Nullhypothese abgelehnt, ist das eine Bestätigung der Alternativhypothese. Möchte man also eine Hypothese bestätigen, muss man sie als Alternativhypothese formulieren. Diese Bestätigung bekommt man aber nur, wenn das Ergebnis der Stichprobe in eklatantem Widerspruch zu der zugehörigen Nullhypothese steht. Das heißt, auf diesem Weg wird man häufig keine Bestätigung der Hypothese bekommen, selbst wenn sie richtig ist. Nun zu dem konkreten Beispiel: Wählt man einen linksseitigen Test, kann der gar nicht abgelehnt werden, wenn der Mittelwert der Stichprobe < 700 ist. Bei einer kleinen Stichprobe ist das aber nicht unwahrscheinlich, selbst wenn der Hersteller im Mittel über 700 liegt. Man läuft also Gefahr, den Hersteller völlig unberechtigt zu beschuldigen. Noch deutlicher wird der Unfug, wenn man bedenkt, dass bei einem üblichen Signifikanzniveau von z. B. 10 %, 5 % oder 1 % selbst bei einem Mittelwert der Stichprobe von 703 die Nullhypothese nicht abgelehnt würde. Man würde also den Hersteller beschuldigen, im Mittel zu wenig abzufüllen, obwohl er in der Stichprobe deutlich zu hoch liegt. Es wäre wünschenswert, wenn in Vorlesungen zur Statistik, sofern es nicht die rein mathematische Statistik ist, neben der Mathematik auch stärker auf die Interpretation der Ergebnisse eingegangen würde.
11.03.2011, 14:50	Carina Maier	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Danke schonmal für die Antworten. Danke Zündholz für die Erklärung des gravierenderen Fehlers, ich kann das jetzt auch ein bißchen besser nachvollziehen. @Huggy: Bist du dir sicher bezüglich den rechtsseitigen&linksseitigen Tests in Bezug auf wie du die Nullhypothese und Alternativhypothese formuliert hast? Ich glaube du hast die Vorzeichen vertauscht kann das sein? Meiner Meinung nach müsste es so aussehen: linksseitiger Test: $\begin{eqnarray} H_0: \quad X \geq 700 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \quad X < 700 \end{eqnarray}$ rechtsseitiger Test: $\begin{eqnarray} H_0: \quad X \leq 700 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \quad X > 700 \end{eqnarray}$ Danach würdest du also auch auf einen linksseitigen Test kommen? Vielleicht ist ja dann die Musterlösung falsch?!
11.03.2011, 15:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Linksseitig und rechtsseitig sind nach meinem Wissen keine genormten Begriffe. Wenn ich diese Begriffe mal weglasse, ist meine Aussage, dass nur folgender Test sinnvoll ist: $\begin{eqnarray} H_0: \quad X \geq 700 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: \quad X < 700 \end{eqnarray}$ Das stimmt zwar mit deiner letzten Aussage überein, passt aber nicht zu deiner ursprünglichen Aussage, dass es nur dem Verbraucher zu Gute kommt, wenn man zu viel abfüllt.
11.03.2011, 16:44	Carina Maier	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Huggy, "Wählt man einen linksseitigen Test, kann der gar nicht abgelehnt werden, wenn der Mittelwert der Stichprobe < 700 ist. Bei einer kleinen Stichprobe ist das aber nicht unwahrscheinlich, selbst wenn der Hersteller im Mittel über 700 liegt. Man läuft also Gefahr, den Hersteller völlig unberechtigt zu beschuldigen." Also meinst du, dass ein Test immer so gewählt werden sollte, dass er potentiell ablehnbar ist? So wie ich das jetzt verstanden habe macht ein linksseitiger Test deiner Meinung nach keinen Sinn in diesem Beispiel, da die Stichprobe ja einen Wert unter 700 Millilitern ergeben hat (698 ml). Daher sollte ich hier meine Hypothesen so wählen, dass unter H0 die Aussage "es werden gleich oder mehr als 700ml abgefüllt" und die H1 Hypothese lautet "es werden weniger als 700 ml abgefüllt", sodass H0 potentiell abgelehnt werden kann?!
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11.03.2011, 17:59	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange man das Ergebnis der Stichprobe nicht kennt, kann ein Test immer potentiell abgelehnt werden. Auch ein Test $\begin{eqnarray} H_0 \leq 700 \end{eqnarray}$ kann potentiell abgelehnt werden, nämlich wenn der Mittelwert der Stichprobe deutlich > 700 ist. Aber was hat man von einem solchen Test? Wenn er abgelehnt wird, habe ich eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass der Hersteller im Mittel mehr als 700 abfüllt. Das ist fein. Wenn er sich zwar an die Vorgabe hält, aber nicht mit deutlichem Abstand, wird man dieses Ergebnis nur selten bekommen. Und wenn man dieses Ergebnis nicht bekommt, besagt dieser Test gar nichts! Insbesondere besagt er dann nicht, dass der Hersteller zu wenig abfüllt.
11.03.2011, 21:10	Carina Maier	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut ich glaube jetzt habe ich das auch verstanden! Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!!

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