Parallelprojektion

11.03.2011, 12:47	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelprojektion Meine Frage: Folgende Frage: Es bezeichne E die durch die Gleichung x = y bestimmte Ebene im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die Parallelprojektion auf E entlang des Vektors $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ a) Bestimmen Sie eine Basis B von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ so,dass $\begin{eqnarray} \left[\pi\right]_B \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist und geben Sie $\begin{eqnarray} \left[\pi\right]_B \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Also die Basis B sind die Vektoren $\begin{eqnarray} <br /> v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , v_2 =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Weil v1 und v2 in der Ebene liegen und v3 linear unabhängig ist, da er nicht in der Ebene liegt. In meiner Lösung steht: Es gilt nun $\begin{eqnarray} <br /> \pi(v_1)=v_1 , \\<br /> \pi(v_2)=v_2 , \\<br /> \pi(v_3)=0 , \\<br /> \end{eqnarray}$ Ich gehe davon aus, dass das Bild von v1 und v2 wieder v1 bzw. v2 ist da die Vektoren ja in der Ebene liegen. Aber warum ist denn das Bild von v3 gleich 0 ? Wie kann ich die Parallelprojektion verstehen ?
11.03.2011, 19:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parallelprojektion auf $\begin{eqnarray} U=<v_1,v_2> \end{eqnarray}$ längs $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ ist die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \pi(v)=v \forall v\in U, \pi(v_3)\in \ker(\pi) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \pi(v_1)=v_1,\pi(v_2)=v_2,\pi(v_3)=0 \end{eqnarray}$
12.03.2011, 12:20	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok macht Sinn, dass v3 im Kern liegt da v3 ja auf die Null abgebildet wird. Aber Warum ? Ich verstehe diese Parallelprojektion nicht. Könnte mir das jemand etwas ausführlicher oder klarer erklären ?
12.03.2011, 13:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anschauliche Erklärung im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ : Nimm als Untervektorraum U die x-Achse (v1=(1,0)). 1. Projiziere längs y-Achse (v2=(0,1)), d.h. du projizierst senkrecht auf die x-Achse, die y-Achse geht auf den Nullpunkt. Jeder Vektor (x0,y0) wird auf (x0,0) abgebildet. 2. Projiziere längs 1. Winkelhalbierender (v2=(1,1)), d.h. du projizierst "schräg" auf die x-Achse. Die 1. Winkelhalbierende geht auf den Nullpunkt. Jeder Vektor (x0,y0) wird auf (x0-y0,0) abgebildet. Mache Skizzen, dann verstehst du, warum solche Abbildungen "(Parallel-)Projektion" heißen.
12.03.2011, 15:11	MatheMathosi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar super danke

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