Paraboloid parametrisieren

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11.03.2011, 14:37

Physinetz

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Paraboloid parametrisieren

Hallo,

hat jemand eine Ahnung wie ich x²-4x+y²+2z=0 parametrisieren kann?

Muss davon das >volumen berechnen.
#
Danke

11.03.2011, 15:11

Leopold

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Du sollst das Volumen berechnen? Welches Volumen? Die Gleichung beschreibt jedenfalls nur eine Fläche. Es lockt geradezu die quadratische Ergänzung, wenn man diese parametrisieren will:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4x + y^2 + 2z = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-2)^2 + y^2 + 2z - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt folgendermaßen Polarkoordinaten einführst

$\begin{eqnarray*} x = 2 + r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

hast du alles: $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ sind durch die Vorgabe bereits parametrisiert und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ berechnest du aus der Gleichung oben, indem du für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Terme in $\begin{eqnarray*} r, \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzt. Der Bereich für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hängt von den weiteren Angaben der Aufgabe ab.

12.03.2011, 00:29

Physinetz

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Zitat:

Du sollst das Volumen berechnen? Welches Volumen? Die Gleichung beschreibt jedenfalls nur eine Fläche.

Meine Beschreibung war nicht vollständig:

Das Flächenstück

$\begin{eqnarray*} $\displaystyle S: \; x^2-4x+y^2+2z=0\;, \quad z \geq 0 $ \end{eqnarray*}$

und die xy-Ebene schließen einen Körper K ein, dessen Volumen berechnet werden soll.

Gut, dann mach ich das mit den Zylinderkoordinaten, wäre ja:

$\begin{eqnarray*} x = 2 + r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2 + r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

Quasi ein verschobener Kreis, der Radius wäre ja $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{2z - 4} \end{eqnarray*}$

Du sagtest

Zitat:

und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ berechnest du aus der Gleichung oben, indem du für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Terme in $\begin{eqnarray*} r, \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzt

Wäre ja dann eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 4+r²*cos² \phi-4*(2+r*cos\phi+r²*sin²\phi+2z=0 \end{eqnarray*}$

Muss ich nun das ganze nach z auflösen?

Dann weiß ich aber immer noch nicht meine Grenzen, die eine wäre ja von 0 bis 2pi , nur wie ist die Grenze für r?

Hänge hier noch ein wenig im Raum, könntest du das kurz ausführen, würde mir glaube ich mehr helfen da ich am Montag Prüfung habe und es schnell wissen sollte, vielen Dank Leopold!

12.03.2011, 12:13

Physinetz

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Könnt mir jemand hier nochmal helfen, thx

12.03.2011, 13:02

Leopold

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Du hast mir die Gleichung einer Fläche gegeben, deshalb habe ich dir eine Parametrisierung der Fläche genannt. Jetzt kommst du mit einem Volumen. Warum sagst du das nicht gleich?

Der Körper wird durch Ungleichungen beschrieben:

1. $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$ (steht in der Angabe)

Weiter muß gelten:

2. $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 + y^2 \leq 4-2z \end{eqnarray*}$ (warum $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ ?)

Jetzt stellst du aber leicht fest, daß diese Ungleichung für $\begin{eqnarray*} z=2011 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllbar ist (warum?). Was ist das größtmögliche $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , so daß diese Ungleichung erfüllbar ist? Die Kombination der Antwort mit 1. liefert dir das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Intervall. In Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mußt du dann noch über $\begin{eqnarray*} r,\varphi \end{eqnarray*}$ integrieren. Bei Polarkoordinaten gilt immer $\begin{eqnarray*} r \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \in [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ (oder ein anderes Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ). Weitere Anforderungen an diese Variablen erhältst du, wenn du die Polarkoordinaten in 2. einsetzt.

12.03.2011, 21:34

Physinetz

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Danke Leopold für deine Hilfe soweit.

Also meine erste Lösungsvariante wäre also:

1):

Damit die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 + y^2 \leq 4-2z \end{eqnarray*}$ erfüllt wird, muss z sich im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ bewegen. Für z=2 wird ja die rechte Seite =0 und die linke kann stets durch x=2 und y=0 0 ergeben. Also 0=0 passt

Wenn ich nun obige Ungleichung anschaue, handelt es sich ja um einen verschobenen Kreis. Den Radius würde ich dann annehmen als $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{4-2z} \end{eqnarray*}$

Heißt meine Parametrisierung wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} r:[0,\sqrt{4-2z} ] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \phi:[0,2 \pi ] \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z:[0,2] \end{eqnarray*}$

Meine zweite Lösung wäre: Einsetzen von den Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2+r*cos\phi \\ r*sin\phi \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in die Ungleichung:

Und es kommt ebenfalls heraus:

$\begin{eqnarray*} r²\leq 4-2z \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Jetzt würde ich gerne noch wissen wie man am besten bei der Parametrisierung von Körpern vorgeht, ob es da ein gutes Schema für gibt?

1. Umformen bis man eine entsprechende Form erkennt (hier Kreis)

2. Zylinderkoordinaten nutzen für dreidimensionale Körper (except Kugel)

3. Zylinderkoordinaten in die entsprechende Gleichung/Ungleichung einsetzen

Gibt es überhaupt so ein Schema, ich glaube fast eher nicht...habe meistens Probleme da Parametrisierungen zu erkennen, gibts da noch irgendwelche Tipps?

Danke Leopold, gute Hilfe!

PS: Muss man den verschobenen Kreis beachten,also das $\begin{eqnarray*} 2+r*cos\phi \end{eqnarray*}$ oder kann man das +2 auch weglassen?

14.03.2011, 14:33

Physinetz

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Könnte mir Leopold hier nochmal helfen?

Gerne auch jemand anderes der Ahnung hat ;-)

14.03.2011, 17:46

Leopold

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Der Begriff Parametrisierung irritiert mich in diesem Zusammenhang. Hier handelt es sich doch um einen dreidimensionalen Bereich $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ . Er wird durch folgende Ungleichungen beschrieben:

$\begin{eqnarray*} P: \ 0 \leq z \leq 2 \, , \ \ (x-2)^2 + y^2 \leq 4 - 2z \end{eqnarray*}$

Das ist die eigentliche Schwierigkeit, nämlich das zu erkennen. (Du hast übrigens die Frage noch nicht beantwortet, wie man auf das zweite Ungleichheitszeichen kommt.)

Und damit ist das Volumen

$\begin{eqnarray*} V(P) = \int \limits_P \dd (x,y,z) \end{eqnarray*}$

Und der Rest ist Kalkül: Wie kann man das Integral geschickt berechnen? Da die erste Ungleichung nur von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abhängt, schreit es geradezu danach, außen nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu integrieren und innen nach $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ (Fubini):

$\begin{eqnarray*} V(P) = \int \limits_P \dd (x,y,z) = \int \limits_0^2 \left( \, \int \limits_{K(z)} \dd (x,y) \right) ~ \dd z \ \ \text{mit} \ \ K(z): \ (x-2)^2 + y^2 \leq 4 - 2z \end{eqnarray*}$

Für das innere Integral fungiert $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wie ein Parameter. Wenn man klug überlegt, kommt man sogar ohne eine Koordinatentransformation aus. Was stellt denn $\begin{eqnarray*} K(z) \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ -Ebene dar (fasse $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante auf, die irgendwo zwischen 0 und 2 liegt)? Das innere Integral

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{K(z)} \dd (x,y) \end{eqnarray*}$

berechnet ja gerade den Flächeninhalt von $\begin{eqnarray*} K(z) \end{eqnarray*}$ . Und den kennt man ja schon von der Schule ...

Wer lieber schwitzt statt denkt, kann natürlich auch für das innere Integral Polarkoordinaten einführen:

$\begin{eqnarray*} x = 2 + r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \, ; \ \ \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi)} = r \end{eqnarray*}$ (Funktionaldeterminante)

Wie ich schon gesagt habe: Dafür ist immer $\begin{eqnarray*} r \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \in I \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ ist, z.B. $\begin{eqnarray*} I = [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ , vorausgesetzt.
Das sind aber nicht alle Anforderungen an $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Die weiteren ergeben sich durch die Bedingung für $\begin{eqnarray*} K(z) \end{eqnarray*}$ , wenn man einsetzt. Du hast hier richtig $\begin{eqnarray*} r^2 \leq 4 - 2z \end{eqnarray*}$ erkannt ( $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ fällt also glücklicherweise aus der Rechnung heraus). Jetzt löse das nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ auf und beachte die Grundvoraussetzung $\begin{eqnarray*} r \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit hast du sämtliche Bedingungen für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Und für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ergibt sich keine weitere Bedingung. Also ist über alle $\begin{eqnarray*} \varphi \in I \end{eqnarray*}$ zu integrieren.

Übrigens wurde dieses Problem in verschiedenen Varianten schon oft hier im Forum behandelt, unter anderem von mir. Die Boardsuche in der Kombination "Paraboloid/Rotationskörper" und "Leopold" könnte weiterhelfen.

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