Gleichung mit ln und e

11.03.2011, 16:37

David123

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Gleichung mit ln und e

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich muss die Nullstellen für folgende Funktion berechnen. Ich hoffe jemand kann mir helfen.

a) k(t) = (e^0.2t) * ln(4t)

b) s(t) = ((3 : t) - (2 : 2t^2))^3

Wäre super nett wenn mir da jemand helfen könnte. Danke

Meine Ideen:
Bei a) habe ich versucht t (0.2 * ln(e^1) * ln (4)

klappt aber nicht. krieg ich 0,27 statt 0.25 als Nullstelle.

Bei b) habe ich die Funktion auf s(t) = 27 * t^3 - 8 umgeschrieben und kriege dann zwar 2 / 3 als Nullstelle aber wenn ich dann die Steigung im Punkt x = 1 oder x = 10 mit der f'(x) berechne einen völligen Mist.

11.03.2011, 16:42

lgrizu

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RE: Gleichung mit ln und e
Bearbeiten wir erst einmal a).

Wann ist ein Produkt 0?

11.03.2011, 18:03

David123

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RE: Gleichung mit ln und e
Dann wenn eines der beiden Produkte 0 ist.

11.03.2011, 18:03

David123

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RE: Gleichung mit ln und e
ähm einer der Faktoren 0 ist. Sorry

11.03.2011, 18:55

lgrizu

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RE: Gleichung mit ln und e
Okay, was bedeutet das für die erste Funktion?

Wann wird diese 0?

11.03.2011, 19:00

Dopap

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ich mach dann mal weiter(?)

a.) das Ausklammern der Variablen aus den Funktionen ist schon starker Tobak!
beide Faktoren jeweils Null setzen und Lösungsmengen bestimmen...

edit: bin wieder weg

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11.03.2011, 19:31

David123

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Ich versuchs mal:

Also dann wäre ja so quasi

o = (e^0.2 * 0 gibt dann 1) * (ln 4 * 0 gibt 0 und geht nicht)

Tut mir wirklich leid. Ich steig einfach nicht...

11.03.2011, 19:36

David123

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Tut mir leid ich weiss ich bin ne ziemlich Gurke.

11.03.2011, 19:48

lgrizu

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Na, du hast ein Produkt:

$\begin{eqnarray*} e^{0,2 \cdot t} \cdot \ln(4t)=0 \end{eqnarray*}$

Nun ist richtig, die beiden Faktoren sind $\begin{eqnarray*} e^{0,2 \cdot t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln(4t) \end{eqnarray*}$ .

Das Produkt ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 wird, also die beiden Faktoren =0 setzen und nach x auflösen.

11.03.2011, 20:03

David123

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Halt, halt, ich glaub mein verschwurbeltes Gehirn hat so eben begriffen was du mir zu erklären versucht hast.

Also ich denke mal

e ^ 0.2t = 0 ln
0.2t = 0 :0.2
t = 0

und der andere Faktor ist ja

ln 4t = 0 *e
4t = e^0
4 t = 1 :4
t = 0.25

Richtig oder?

Halleluja ?

11.03.2011, 20:09

Mulder

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Zitat:

Original von David123
e ^ 0.2t = 0 ln
0.2t = 0 :0.2
t = 0

Da ist nix mit Halleluja, ln(0) ist überhaupt nicht definiert. Setz das doch mal wieder ein, dann erhälst du e^0. Und direkt dadrunter hast du noch geschrieben, dass e^0=1 ist.

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen.

11.03.2011, 20:13

David123

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Da ist nix mit Halleluja, ln(0) ist überhaupt nicht definiert. Setz das doch mal wieder ein, dann erhälst du e^0. Und direkt dadrunter hast du noch geschrieben, dass e^0=1 ist.

Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen.

Okey ich hätte den e-Faktor gleich weglassen können. Richtig ?

Stimmt denn der zweite Faktor?

11.03.2011, 20:18

lgrizu

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Okay, also zu der zweiten Aufgabe:

Schau dir die Funktion $\begin{eqnarray*} s(t)=\left(\frac{3}{t}-\frac{2}{2t^2}\right)^3 \end{eqnarray*}$ einmal an, für welche t wird der Term 0?

11.03.2011, 20:19

David123

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Heisst das, ich hätte den Faktor e^0.2*t auch gleich weglassen können oder ?

11.03.2011, 20:22

Pascal95

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Theoretisch wäre die Gleichung für $\begin{eqnarray*} t=-\infty \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Denn $\begin{eqnarray*} e^{- \infty}=0 \end{eqnarray*}$ (konvergiert gegen Null)
Aber ln(0) konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich mir da nicht sehr sicher, ob man das so sagen darf.

11.03.2011, 20:23

lgrizu

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Weglassen ist das falsche Wort, der Faktor kann halt nicht 0 werden, die Exponentialfunktion ist für alle Exponenten immer größer als 0.

11.03.2011, 20:23

David123

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Okey eine Erfolgsmeldung hätte ich. Die Gleichung habe ich geschafft. LOL Hammer

LOL Hammer

Danke euch für die Hilfe.

Aber hab ich denn die Aufgabe a) jetzt richtig gelöst. Quasi einfach * e rechnen und dann gilt:

ln 4 *t = 0 *e
4 * t = e^0
4t = 1
t = 0.25

Darf ich denn einfach * e rechnen, so wie mit ln multiplizieren?

11.03.2011, 20:25

David123

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Ist das so weil e^0 immer noch 1 ergibt?

11.03.2011, 20:27

David123

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ln 4t = 0 *e
4t = e^0
4 t = 1 :4
t = 0.25

und ist das denn so richtig?

Darf ich mit e multiplizieren um dieses blöde ln wegzukriegen? Und dann hab ich auf der linken Seite der Gleichung dann neu e^0 ist 1 ?

Hammer

Hammer

11.03.2011, 20:31

lgrizu

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Die Aufgabe ist richtig gelöst, aber nicht mit e multiplizieren, sondern entlogarithmieren, also $\begin{eqnarray*} \ln(4t)=0 \Rightarrow e^{\ln(4t)}=e^0 \Rightarrow 4t=1 \end{eqnarray*}$ .

Aber richtig gerechnet hast du ja trotzdem.

Wenn du die Gleichung mit e multiplizierst ist nichts gewonnen:

$\begin{eqnarray*} \ln(4t)=0 \Rightarrow e \cdot \ln(4t)=0 \cdot e \Rightarrow e \cdot \ln(4t)=0 \end{eqnarray*}$

11.03.2011, 20:32

David123

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ln 4t = 0 *e
4t = e^0
4 t = 1 :4
t = 0.25

und ist das denn so richtig?

Darf ich mit e multiplizieren um dieses blöde ln wegzukriegen? Und dann hab ich auf der linken Seite der Gleichung dann neu e^0 ist 1 ?

11.03.2011, 20:38

David123

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Igrizu

Du bist der Beste. Danke, danke, danke.

Also entlogaritmieren heisst das dann. Hab auch noch nie was von multiplizieren mit e gehört.

Aber ich bin halt eben eine Gurke.

Dann darf ich nicht schreiben

ln 4t = 0 *e

sondern e^ln4t

aber auf wie schauts auf der rechten Seite der Gleichung aus?

ich kann ja nicht e^ln0 schreiben. Weil ln für 0 ja nicht existiert?

Also noch mal sauber aufgeschrieben:

e^ln4t = e^ln0

hier rechts; kann man das so schreiben? oder muss ich rechts dann doch e^0 schreiben?

11.03.2011, 20:43

David123

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Also wäre dann sauber geschrieben

e^ln4t = e^0

richtig oder

e^ln4t = e^ln0 (ln 0 is ja nicht definiert)

11.03.2011, 20:45

lgrizu

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Nein, rechts steht doch auch gar nichts von ln(0) (und der ist auch nicht definiert), rechts steht einfach nur 0, aber links steht doch ln(4t).

Wir schreiben nun sowohl die linke als auch die rechte Seite in den Exponenten:

$\begin{eqnarray*} \ln(4t)=0 \Rightarrow e^{\ln(4t)}=e^0 \end{eqnarray*}$ , nun ist $\begin{eqnarray*} e^{\ln(4t)}=4t \end{eqnarray*}$ weil der ln die Unmkehrfunktion der e-Funktion ist und wir haben 4t=1.

11.03.2011, 20:52

David123

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Daaaaaaanggeeeschööööööön

Ich seit super. Merci vielmol

Eure Mathe-Gurke Gott

Gott

Gott

Gott

11.03.2011, 21:07

lgrizu

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Soweit erst einmal alles Klar?

Wenn noch Fragen sind, du weißt wo du uns findest. Wink

Wink

11.03.2011, 21:15

Pascal95

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Gibt es dafür eigentlich eine reelle Lösung ?!

11.03.2011, 21:16

lgrizu

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Wofür?

verwirrt

11.03.2011, 21:35

Pascal95

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für $\begin{eqnarray*} k(t)=0 \end{eqnarray*}$
also gibt es ein t aus |R

11.03.2011, 21:37

lgrizu

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Jap, haben wir doch bereits ausgerechnet, lies den Thread aufmerksam.

11.03.2011, 21:39

David123

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Na ähm, ich will deine Geduld nicht überstrapazieren.

Ich muss ja die Funktion dann auch noch ableiten.

f(x) = e^0.2t * ln (4t)

Also mein Resultat wäre

f`(x) = 0.2 * e ^0.2t * ln (4t) + e^0.2t * 1/4t

also u' wäre dann 0.2 * e^0.2t * ln(4t)

und v`wäre dann 1/4t

und dann hab ich versucht die Steigung bei k(1) auszurechnen aber ich komm nicht auf das gewünschte Resultat von 1.56005

Na ich weiss nicht. Hab ich einen Fehler in der Kettenregel gemacht beim e Term oder bei der Produktregel.

Vielleicht könntet ihr mir noch mal auf die Sprünge helfen.

Danke

11.03.2011, 21:43

David123

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Also ein weiteres Daaaaanggeschööööön wäre dir natürlich auf sicher.

Aber vielleicht hast du ja schon von vorher noch genügend auf Lager. War ja auch ein extra Grosses Wink

Wink

11.03.2011, 21:56

lgrizu

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Du hast einmal die Kettenregel nicht angewendet.

Es ist $\begin{eqnarray*} u(t)=e^{0,2t} \Rightarrow u'(t)=0,2 \cdot e^{0,2t} \end{eqnarray*}$ , soweit richtig.

Aber die Ableitung von $\begin{eqnarray*} v(t)=\ln(4t) \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} v'(t)=\frac{1}{4t} \end{eqnarray*}$ , du musst noch mit der inneren Ableitung multiplizieren.

11.03.2011, 22:35

David123

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f`(x) = 0.2 * e ^0.2t * ln (4t) + e^0.2t * 4 *1/4t

also wäre v` dann 4 * 1 /4t

Na das hab ich auf Anhieb verstanden.

Also ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe. Ich bin echt froh jemanden gefunden zu haben der mir helfen kontte.

Danke Igrizu deine Mathe-Gurke

11.03.2011, 22:48

toni1401

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es ist ganz einfach. schau dir einfach mal den graphen von e^x und lnx an, dann wirst du feststellen das e^x niemals 0 wird und ln (x) nur für x=1! das heisst ln (1/4*x) => x=4!

11.03.2011, 22:49

lgrizu

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Jap, nun ist richtig.

Also, viel Spaß noch am Matheboard und wenn Fragen sind, du weißt, wo du uns findest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

12.03.2011, 09:33

David123

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So da bin ich dann wieder Wink

Wink

Wie leitet man b) ab?

f(x) = (3/t - 2/t^2)^3

also ich hab zuerst die beiden Brüche zwischen den Klammern zusammen gerechnet.

gibt dann f(x) = (3t - 2)^3

Meine Frage: Darf ich das überhaupt? verwirrt

verwirrt

dann habe ich die Kettenregel angewendet. Also die lautet ja;

Innere * Äussere Ableitung

Die innere Ableitung wäre: 3 ,oder verwirrt

verwirrt

Ich bin gegen 10 Uhr zurück. Danke

und die äussere Ableitung wäre: 3(3t-2)^2 , stimmt hoffe ich verwirrt

verwirrt

ergibt zur Kettenregel zusammengesetzt:

f`(x) = 3 * 3(3t-2)^2

Na das stimmt eben sicher nicht. Aber warum?

SOS Klo

Klo

f`(x) = 9(3t-2)^2

12.03.2011, 09:46

lgrizu

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Zitat:

Original von David123
So da bin ich dann wieder Wink

Wink

Wie leitet man b) ab?

f(x) = (3/t - 2/t^2)^3

also ich hab zuerst die beiden Brüche zwischen den Klammern zusammen gerechnet.

gibt dann f(x) = (3t - 2)^3

Meine Frage: Darf ich das überhaupt? verwirrt

verwirrt

Was hast du denn hier gemacht?
Wo ist denn das t² hin?
Du darfst die beiden Brüche zusammenrechnen, also subtrahieren, bitte nutze dann aber die Rechenregeln für Brüche, also

1.)Nennergleich machen

2.)die Zähler subtrahieren, der Nenner bleibt, richtig wäre also $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{3t-2}{t^2} \right)^3 \end{eqnarray*}$

Ich sehe allerdings keinen Vorteil darin.

Wenn du das allerdings so machen möchtest kommen Kettenregel und Quotientenregel zur Anwendung.

12.03.2011, 10:19

David123

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Hallo Igrizu

Ich hab gedacht ist ein bisschen übersichtlicher wenn ich die Klammer zusammenrechne. t^2 hab ich ich falsch nachgedacht. Danke.

Also Kettenregel und Quotientenregel.

Äussere Ableitung: 3(3t-2 / t^2)

und die innere mit der Quotientenregel ist dann

also

3 * (t^2) - (3t - 2)2t
-------------------------------
t^4

gibt dann zusammen

3 * (t^2) - (3t - 2)2t
------------------------------- * 3(3t-2 / t^2) = f'(x)
t^4
Innere * Äussere Ableitung = Kettenregel

So ich glaub jetzt hab ichs richtig gemacht, Igrizu? Also das Resulat der Steigung für f'(1) = 3 stimmt dann schon mal.

Forum Kloppe

Forum Kloppe

12.03.2011, 10:29

lgrizu

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Jetzt hast du den Exponenten bei der äußeren Ableitung "vergessen". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Diese ist $\begin{eqnarray*} 3 \left(\frac{3t-2}{t^2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

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