Vektorraum einer Matrix

11.03.2011, 16:42

FHONE

Vektorraum einer Matrix

Meine Frage:
Weisen Sie nach, dass die Menge aller Matrizen der Gestalt

c a c
a b a
c a c

einen Vektorraum bilden.

Warum bildet die Menge aller Matrizen der Gestalt

c a 1
a b a
1 a c

keinen Vektorraum?

(a,b,c) reel

Meine Ideen:
Hat es etwas mit der Symetrie der ersten Matrix zu tun ? Bzw. Ein Vektorraum muss bestimmte Axiome erfüllen.? Bzw Wer kann mir genau erklären wie man überprüft was ein Vektorraum ist?

Vielen Dank

11.03.2011, 16:49

system-agent

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Du musst die Axiome für einen Vektorraum überprüfen. Sind die alle erfüllt, dann ist es einer, sonst nicht.

Die Frage ist hier aber erstmal, welche Verknüpfungen du betrachtest. Ich denke mal dass die Addition die gewöhnliche Addition von Matrizen sein soll und die Skalarmultiplikation die gewöhnliche Multiplikation einer Zahl mit einer Matrix.

11.03.2011, 16:55

FHONE

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die Axiome sind.

1.V nicht leer
2.Jeder Vektor in der Dimension ist durch eine Linearkombination des V darzustellen

soweit richtig?

Was meinst du mit Verknüpfung?

11.03.2011, 17:07

matheprooo

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wenn ich mir zB die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c & a & c \\ a & b & a \\ c & a & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anschaue.

Sehe ich die ersten drei Spalten als Spaltenvektoren die eine Basis sind. Mit drei Vektoren kann ich ja einen Basis bilden für \mathbb R ^{3} was ja wiederum ein Vektorraum wäre , oder ? Aber wenn ich z.B. a,b,c = 1 setze dann sind ja alle drei linear abhängig und somit sind es ja keine Basen mehr.

11.03.2011, 17:11

system-agent

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Zitat:

Original von FHONE
1.V nicht leer
2.Jeder Vektor in der Dimension ist durch eine Linearkombination des V darzustellen

soweit richtig?

Das ist doch Unsinn. Schreib mal die wirklichen Axiome auf oder schau auf Wikipedia.

Und wenn man eine Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ hat und eine innere Verknüpfung $\begin{eqnarray*} +: V\times V\to V \end{eqnarray*}$ sowie eine Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot :\mathbb R\times V\to V \end{eqnarray*}$ hat, dann ist $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum bzgl genau diesen Verknüpfungen - oder eben nicht.

11.03.2011, 17:17

FHONE

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nunja des waren die Axiome in eigenen Worten ausgedruckt und ich nehme an das sie dann so stimmen?
In mathematisch wären sie.
1.V nicht leer
2.Skalarprodukt zwischen Reeler Zahl und Vektor aus V ergibt wieder einen Vektor aus V
3.Addition zweier Vektoren aus V bilden wiederum einen Vektor aus V.

ok ? und nun ?

11.03.2011, 17:26

system-agent

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Das sind die Axiome um einen Untervektorraum zu haben. Nun gut, du kannst auch das überprüfen, sofern du einmal bewiesen hast dass die Menge aller 3x3-Matrizen mit dieser Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum ist.

Um (1) zu zeigen ist es immer gut zu überprüfen, ob die Nullmatrix drin ist, denn diese ist das neutrale Element der Addition und muss drin sein.

11.03.2011, 18:05

FHONE

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aso ok.......und was sind die Axiome um direkt zu beweißen ob es ein Vektorraum ist??

11.03.2011, 18:08

system-agent

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Die findest du entweder in deinen Unterlagen oder hier.

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