Riemannsumme

11.03.2011, 19:46

Nadia..

Riemannsumme

Meine Frage:
Berechnen Sie mit Hilfe Riemannscher Summen (und ohne Benutzung des Hauptsatzes der Dierentialund
Integralrechnung) das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \sqrt(x) dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Suche eine passende Zerlegung. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |Z_n| = \frac{i^2(b-a)}{n^2} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} x_i = \frac{i^2}{n^2} = \xi_i \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} s(f,z,\xi_i)= \sum_{i=1}^n f(\xi_i)*(x_i-x_{i-1}) =\sum_{i=1}^n \frac{i}{n}*(\frac{i^2}{n^2}-\frac{(i-1)^2}{n^2}) = \sum_{i=1}^n \frac{i}{n}*(\frac{i^2}{n^2}-\frac{(i^2-2i+1}{n^2}) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{i}{n}*(\frac{(2i-1}{n^2}) = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1}{n^3} = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{2i}{n^3} = 2*\sum_{i=1}^{n-1} \frac{i}{n^3} = 2*\frac{n(n+1)*(2n+1)}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ Kann jemand bitte helfen ?

11.03.2011, 19:57

Cel

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Wo ist denn dein Problem? Sieht doch gut aus. Augenzwinkern

11.03.2011, 20:54

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Cel
Sieht doch gut aus.

Na ja, nur weil am Ende auf wundersame Weise sogar das richtige Ergebnis rauskommt, muss davor nicht alles stimmen.

Es ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \frac{i(2i-1)}{n^3}=\frac 1{n^3}\sum_{i=1}^n (2i^2-i)=\frac 1{n^2}\left(\frac{(n+1)(2n+1)}3-\frac{n+1}2\right) \end{eqnarray*}$

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