Laplace Transformation berechnen

12.03.2011, 00:36	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Transformation berechnen Hallo, ich versuche die Laplace Transformation von $\begin{eqnarray} t²e^{-3(t+1)} \end{eqnarray}$ zu berechnen. Dazu habe ich versucht es aufzuspalten in die einzelnen Transformationen: $\begin{eqnarray} L(t²)= 2/s^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L(e^{-3t})=1/(s+3) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} L(e^{-3})=e^{-3}/s \end{eqnarray}$ wenn ich die Tabelle zu Laplace richtig interpretiert habe. Nun habe ich einfach alle Laplacetransformationen miteinander multipliziert, dabei kam ein falsches Ergebnis heraus. Ist es richtig, das man die nicht einfach multiplizieren darf? Die Frage ist, wie die Laplace Transformation auch von folgender Aufgabe ginge: $\begin{eqnarray} sin(2t)cos(2t) \end{eqnarray*}$ Ich kenne lediglich die Laplace Transformationen von sin(t) und cos(t), es muss ja einen einfachen schnellen Weg geben, über die man das nicht extra ausführlich herleiten muss (über Laplace Formel mit Integral). Hat mir jemand zu beiden Aufgaben Tipps und Tricks?
12.03.2011, 11:10	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut, die beiden oberen habe ich geschafft, man darf also nicht einfach multiplizieren... Aber wie schauts aus mit: $\begin{eqnarray} tsin(t) \end{eqnarray*}$ ? Die einzelnen Laplacetransformationen kann man ja in der Tabelle nachschlagen,aber wie verknüpft man diese? Danke!
12.03.2011, 14:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} L(f(t))=F(s) \end{eqnarray}$ die Laplacetransformierte von f(t). Dann gibt es die Regel $\begin{eqnarray} L(t^nf(t))=(-1)^nF^{(n)}(s) \end{eqnarray}$
14.03.2011, 21:34	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zu $\begin{eqnarray} t²e^{-3(t+1)} \end{eqnarray}$ Die Laplacetransformation von $\begin{eqnarray} t²e^{-3(t)} \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} L(t²e^{-3(t)})=2/(s+3)^3 \end{eqnarray}$ verstanden. Aber wie spielt nun der Faktor $\begin{eqnarray} e^{-3} \end{eqnarray}$ mit hinein. Weil dieser ist ja eine Konstante, für die gilt $\begin{eqnarray} L(e^{-3})=e^{-3}/s \end{eqnarray}$ Aber die Lösung von oben ist ja nur $\begin{eqnarray} L(t²e^{-3(t+1)})=2/(e^{-3}(s+3)^3) \end{eqnarray*}$ Ich grübel...
15.03.2011, 08:31	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast doch inzwischen selbst gemerkt, dass die L-Transformierte eines Produkts nicht das Produkt der L-Transformierten der Faktoren ist. $\begin{eqnarray} L(f(t)g(t)) \neq L(f(t))L(g(t)) \end{eqnarray}$ Das ist auch nicht so, wenn ein Faktor eine Konstante ist. $\begin{eqnarray} L(af(t)) \neq L(a)L(f(t)) \end{eqnarray}$ Es gilt dann aber ganz einfach: $\begin{eqnarray} L(af(t))=aL(f(t)) \end{eqnarray}$ Damit kommst du auf die korrekte Lösung. Diese Formel funktioniert auch bei einer alleinstehenden Konstanten. $\begin{eqnarray} L(a)=L(a \cdot 1)=aL(1)=a \frac{1}{s} \end{eqnarray}$ L(1) lässt sich durch Regeln nicht weiter vereinfachen und muss aus der Definition der Transformation berechnet werden.

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