Länge unendl. -> Krümmung unbeschr.

12.03.2011, 10:10	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Länge unendl. -> Krümmung unbeschr. Hallo! Ich habe folgendes Problem: Gegeben a,b>0 und eine Funktion $\begin{eqnarray} f\in\mathcal C^2([0,b/a),\mathbb R) \end{eqnarray}$ . Sie erfüllt die folgenden Bedingungen: f hat unendlich viele Maxima $\begin{eqnarray} t_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)\leq -ax+b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^{b/a}\sqrt{1+f'(t)^2}\dd t = +\infty \end{eqnarray}$ Ich würde gerne zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray} f''(t_k) \end{eqnarray}$ unbeschränkt ist - oder ein Gegenbeispiel finden (bin nicht sicher, ob meine Behauptung stimmt). Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das mit Mitteln aus der Analysis I lösbar sein sollte, aber mir fehlt die zündende Idee... Cordovan
12.03.2011, 12:51	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eine Lösung gefunden! Sie benötigt die Abschätzung für f nicht. Anschaulich: $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ ist an den Maxima 0, insgesamt aber unbeschränkt (wegen der Integralbedingung). Also muss $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ immer schneller zwischen 0 und einer immer größeren Zahl variieren, hat also immer größeren Anstieg. Damit ist $\begin{eqnarray} f'' \end{eqnarray}$ unbeschränkt. Wenn es jemand genauer wissen will, poste ich gerne den formalen Beweis Cordovan

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