Differentialgleichung lösen

12.03.2011, 11:10

Gast11022013

Differentialgleichung lösen

Meine Frage:
Noch eine Aufgabe aus der Analysis 3 Klausur (gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie), die ich nicht lösen konnte und mit der ich es jetzt nochmal versuchen möchte:

Die Aufgabe:

Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} y'''-y=t \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} y'''=y+t \end{eqnarray*}$
Wenn ich es richtig sehe, handelt es sich hier doch um eine inhomogene Differentialgleichung 3. Ordnung.

Meine Taktik wäre:

1. Umwandeln in eine Gleichung erster Ordnung
2. allgemeine Lösung der homogenen Gleichung bestimmen
3. partikuläre Lösung der homogenen Gleichung bestimmen

Geht das so??

PS.

Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://vorhilfe.de/read?i=777142

12.03.2011, 14:40

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RE: Differentialgleichung lösen
Das charakteristische Polynom wurde ja schon drüben genannt.

Ein weiterer Hinweis:
In "eine" Gleichung erster Ordnung wirst du das nicht umwandeln können, aber in ein System von drei DGL erster Ordnungen. Damit kann man auch lösen, was aber in der einfachsten Form wieder auf das char. Polynom hinausläuft.

Gruß
MI

12.03.2011, 16:45

Gast11022013

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RE: Differentialgleichung lösen
Okay, zuerst betrachtet man also die homogene DFG, die hier lautet
$\begin{eqnarray*} y'''-y=0 \end{eqnarray*}$ . Hierzu stellt man das charakteristische Polynom auf:
$\begin{eqnarray*} p(\lambda)=\lambda^3-1=0 \end{eqnarray*}$ . Ich bin der Meinung, dass es so lautet und nicht - wie in dem anderen Forum vorgeschlagen - $\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda \end{eqnarray*}$ .

Man ermittelt nun die Nullstellen dieses Polynoms - und dann?

12.03.2011, 21:30

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RE: Differentialgleichung lösen
Ja, dein Polynom sieht besser aus.
Wenn du das Polynom aufgestellt hast, kannst du aus den Nullstellen ein Fundamentalsystem basteln, also drei linear unabhängige Lösungen der DGL. Weißt du, wie man das macht?

Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination der drei Lösungen.

Gruß
MI

14.03.2011, 11:25

Gast11022013

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RE: Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von MI
Ja, dein Polynom sieht besser aus.
Wenn du das Polynom aufgestellt hast, kannst du aus den Nullstellen ein Fundamentalsystem basteln, also drei linear unabhängige Lösungen der DGL. Weißt du, wie man das macht?

Also die Nullstelle ist jedenfalls 1, das müsste eine 3fache Nullstelle sein.
Somit wäre $\begin{eqnarray*} \mu_1(t)=e^t, \mu_2(t)=te^t, \mu_2(t)=t^2e^t \end{eqnarray*}$ ein Fundamentalsystem der betrachteten homogenen Differentialgleichung.
Ist dies jetzt die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung?
Wenn ja: Wie bestimmte ich jetzt eine partikuläre Lösung der homogenen Gleichung, denn dies fehlt ja noch zur Bestimmung ALLER reellen Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung?

Zitat:

Original von MI
Die allgemeine Lösung der DGL ist dann eine Linearkombination der drei Lösungen.

Was ist damit gemeint?

EDIT:

In dem anderen Forum, das ich oben verlinkt habe, habe ich diese Frage gerade schon beantwortet bekommen:
http://vorhilfe.de/read?i=777706

14.03.2011, 12:48

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RE: Differentialgleichung lösen
Eines wurde dort aber übersehen: Du hast die Nullstellen der Gleichung falsch bestimmt. 1 ist mit Nichten dreifache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \lambda^3-1=0 \end{eqnarray*}$ . Vielmehr hast du nur eine reelle und zwei weitere komplexe Nullstellen. Es handelt sich dabei um die primitiven dritten Einheitswurzeln.

Entsprechend passt dein Fundamentalsystem nicht - aber das sollte sich leicht korrigieren lassen. Danach weißt du ja jetzt, wie du an die allgemeine homogene Lösung kommst.

Gruß
MI

14.03.2011, 12:55

Gast11022013

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RE: Differentialgleichung lösen

Zitat:

Original von MI
Eines wurde dort aber übersehen: Du hast die Nullstellen der Gleichung falsch bestimmt. 1 ist mit Nichten dreifache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} \lambda^3-1=0 \end{eqnarray*}$ . Vielmehr hast du nur eine reelle und zwei weitere komplexe Nullstellen. Es handelt sich dabei um die primitiven dritten Einheitswurzeln.

Peinlich für mich, aber ich weiß nicht, was Du meinst.

$\begin{eqnarray*} \lambda^3-1=0\Leftrightarrow \lambda=\sqrt[3] {1} \end{eqnarray*}$

Und wo sind zwei weitere komplexe Nullstellen?

EDIT:

Wikipedia hat mir meine Frage beantwortet:
http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

Wie sieht denn dann ein Fundamentalsystem aus?
[Inwiefern ist es hier schon von Bedeutung, dass ich nur die reellen Lösungen des inhomogenen Gleichung bestimmen soll?]

14.03.2011, 15:35

Gast11022013

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RE: Differentialgleichung lösen
Die Aufgabe ist gelöst: s. Link zu dem anderen Forum.

Danke an alle, die auch hier geholfen haben. Wink

14.03.2011, 18:33

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RE: Differentialgleichung lösen
Gut, bitteschön und danke für die Rückmeldung.

Und wie gesagt, nicht mehr vergessen: $\begin{eqnarray*} (x-1)^3\neq x^3-1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

.

Gruß
MI

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