Konvergenz und Grenzwert beweisen

12.03.2011, 12:37

natural

Konvergenz und Grenzwert beweisen

Hallo Zusammen Wink

ich bin gerade bei einer Aufgabe hängen geblieben und zwar:

Zeigen Sie in (a), (b) und ( c), dass die Grenzwerte der gegebenen Folge existieren und angegeben Werte annehmen

(a) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1 \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{x} =1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 , x\in \mathbb R. \end{eqnarray*}$
(c) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

Ich habe erstmal die Grenzwerte gezeigt habe, wobei mich mir nicht ganz sicher bin, ob das so geht. Weiterhin hapert es bei mir in der Konvergenz.

(a)
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n} =\lim_{n\to \infty } n^{\frac{1}{n} } =\infty ^{0}=1 \end{eqnarray*}$

(b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{x} =<br /> \lim_{n\to \infty } x^{\frac{1}{n}} =x ^{0}=1 \end{eqnarray*}$

(c)
x>0

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!}=\lim_{a \to b} x^{n} * \lim_{a \to b} \frac{1 }{n!}= \infty *0=0 \end{eqnarray*}$

x<0:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!}=\lim_{a \to b} x^{n} * \lim_{a \to b} \frac{1 }{n!}= 0*0=0 \end{eqnarray*}$

x=0:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{0^n} {n!}=\lim_{n\to \infty} 0=0 \end{eqnarray*}$

Mit dem normalen Konvergenzkriterium kann ich nicht die Konvergenz a und b) nachweisen.
Geht das vielleicht über den Monotoniekriterium

mfg
natural smile

12.03.2011, 13:37

Ravenlord

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Teilaufgabe (b) sollte so passen, wenn mich nicht alles täuscht.

Teilaufgabe (a) ist falsch, da $\begin{eqnarray*} \infty^0 \end{eqnarray*}$ ein unbestimmter Ausdruck ist. Hier solltest du versuchen, die n-epsilon-Definition anzuwenden. Die Aufgabe hat es auch in sich, so leicht ist das nicht ...

Zu (c): Was ist a?

Außerdem - wenn du gezeigt hast, dass eine Folge einen Grenzwert annimmt, dann hast du auch die Konvergenz erledigt. Konvergenz heißt ja genau das.

12.03.2011, 14:34

natural

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RE: Konvergenz und Grenzwert beweisen
Danke erstmal für deine Antwort.
Es sollte eigentlich heißen:
(c) $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Kleiner Tippfehrler, was jedoch meine Lösung zu c) nicht beeinträchtig.

Ich hätte da auch noch eine andere Idee zu c) und zwar kann man ja hier auch das Sandwich-Theorem anwenden und das folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n\to \infty } \frac{1}{n!}=0 \end{eqnarray*}$

Demnach muss auch die ganze Folge $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren.

Geht das auch so verwirrt

Zu a) werde ich mal weiter überlegen smile

12.03.2011, 14:56

natural

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Zitat:

Außerdem - wenn du gezeigt hast, dass eine Folge einen Grenzwert annimmt, dann hast du auch die Konvergenz erledigt. Konvergenz heißt ja genau das.

Das ist ein guter Punkt, denn du angesprochen hast, da ich mir etwas unsicher bin . Ist das richtig, wenn ich z.B. den Grenzwert einer Folge mit dem Grenzwertsätzen ermittelt habe, habe ich somit auch unmittelbar die Konvergenz der Folge gezeigt?
Mag sein dass das eine banale Frage ist, aber ihre Antwort fundamental.

Des Weiteren soll ich laut Aufgabenstellung zeigen das die Grenzwerte der gegebenen Folge existieren und angegeben Werte annehmen. Was heißt das nun konkret. Reicht das einfach schon, wenn ich den Grenzwert dazu ermittle, da das ja die Konvergenz mit einschließt

mfg
natural smile

12.03.2011, 16:55

Ravenlord

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RE: Konvergenz und Grenzwert beweisen

Zitat:

Original von natural

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n\to \infty } \frac{1}{n!}=0 \end{eqnarray*}$

Demnach muss auch die ganze Folge $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren.

Geht das auch so verwirrt

Das Problem ist, dass du es für ein beliebiges x > 0 zeigen sollst. In deinen Ausführungen machst du das nur für x = 1.

Zu deiner anderen Frage:

Wenn ein Grenzwert einer Folge existiert, d.h. die Folge im Unendlichen einen festen Wert annimmt ( $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ sind keine festen Werte), dann hast du gezeigt, dass die Folge gegen diesen Wert konvergiert.

Also, noch mal anders formuliert:
Wenn du zeigen sollst, dass ein Grenzwert existiert, heißt das nichts anderes, als dass du zeigen sollst, dass die Folge für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ sich einem festen Wert, einer konkrete Zahl annähert.

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