Integralgleichung - Seite 2

10.09.2011, 17:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \varepsilon - \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ bist du übers Ziel hinausgeschossen. Aber in die richtige Richtung geht das. Dann machen wir das einmal ganz ausführlich. Ich zitiere mit leicht geänderten Bezeichnungen aus Friedhelm Erwe, Differential- und Integralrechnung, Band 2, BI-Taschenbuch, 1976, Seite 77. Es seien $\begin{eqnarray} I,M \end{eqnarray}$ reelle Intervalle. $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ möge $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als untere und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ als obere Grenze besitzen (wobei auch $\begin{eqnarray} a= -\infty \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b = \infty \end{eqnarray}$ möglich sind). Sei $\begin{eqnarray} f(x,t) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x \in I, t \in M \end{eqnarray}$ stetig, während die partielle Ableitung $\begin{eqnarray} f_t(x,t) \end{eqnarray}$ dort existiert und auch stetig ist. Wenn das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} \int_a^b f_t(x,t)~\dd x \end{eqnarray}$ auf jedem kompakten Teilintervall von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gleichmäßig konvergiert, so gilt das gleiche für $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x,t)~\dd x \end{eqnarray}$ , falls letzteres Integral an wenigstens einer Stelle $\begin{eqnarray} A \in M \end{eqnarray}$ konvergiert. Ferner gilt dann: $\begin{eqnarray} F(t) = \int_a^b f(x,t)~\dd x \end{eqnarray}$ ist auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ differenzierbar, und die Ableitung wird durch Differentiation unter dem Integralzeichen gewonnen: $\begin{eqnarray} F'(t) = \int_a^b f_t(x,t)~\dd x \end{eqnarray}$ Wie sieht das jetzt bei uns aus? Es ist $\begin{eqnarray} f(x,t) = \frac{\operatorname{e}^{-x} - \operatorname{e}^{-tx}}{x} \ \ \mbox{für} \ \ x \in I = [0,\infty) \, , \ \ t \in M = (0,\infty) \end{eqnarray}$ Die untere Grenze $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ dürfen wir bei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ dazunehmen, indem wir den Integranden bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ stillschweigend mit dem Wert $\begin{eqnarray} t-1 \end{eqnarray}$ stetig ergänzen (betrachte die Potenzreihen für die Exponentialfunktionen). Dagegen darf $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ nicht zu $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ dazugenommen werden (die Divergenz des Integrals ist für $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ offensichtlich, weil der Integrand weit draußen wie $\begin{eqnarray} - \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ist, und das geht zu langsam gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ). Als partielle Ableitung hat man $\begin{eqnarray} f_t(x,t) = \operatorname{e}^{-tx} \end{eqnarray}$ (Der Fall $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist beim Differenzieren nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ getrennt zu untersuchen. Nachträglich sieht man aber, daß die Formel für die partielle Ableitung auch in diesem Fall gilt.) Alle Stetigkeits- und Differenzierbarkeitsvoraussetzungen passen schon einmal. Jetzt brauchen wir als nächstes die kompakte Konvergenz des abgeleiteten Integrals in $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , also die gleichmäßige Konvergenz auf jedem kompakten Teilintervall von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Ja, wir zeigen sogar mehr, nämlich die gleichmäßige Konvergenz auf jedem Intervall der Art $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} = [\varepsilon,\infty) \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ . Jedes kompakte Teilintervall von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kann in ein geeignetes $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ eingeschlossen werden. Gilt die gleichmäßige Konvergenz also für alle $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ , so erst recht für alle kompakten Teilintervalle von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Daß wir bei $\begin{eqnarray} N_{\varepsilon} \end{eqnarray}$ links "kleinlich" sind und eine Grenze $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ angeben, während wir rechts scheinbar "uferlos großzügig" sind, ist nicht von vorneherein selbstverständlich. Ich habe einfach bei der folgenden Rechnung gemerkt, daß ich rechts keine endliche Grenze brauche. Wozu aber mehr Komplexität in die Rechnung bringen als unbedingt nötig! Bei nichtnegativen Integranden kann man nun die gleichmäßige Konvergenz durch Angabe einer von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ unabhängigen Majoranten nachweisen. (Im Prinzip ist das die zweite Ungleichung bei deinem 3. Punkt.) Vorbehaltlich Konvergenz schätzen wir ab: $\begin{eqnarray} \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-tx}~\dd x \leq \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-\varepsilon x} = \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray}$ Die Konvergenz des Integrals rechts rechtfertigt nachträglich die Abschätzung, die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist erreicht. (Es ist also $\begin{eqnarray} h(x) = \operatorname{e}^{-\varepsilon x} \end{eqnarray}$ .) Nach dem Satz müssen wir jetzt noch eine einzige Stelle $\begin{eqnarray} t = A \in M \end{eqnarray}$ finden, an dem das Ausgangsintegral konvergiert (da verlangt die erste Ungleichung in deinem 3. Punkt zu viel, das braucht man gar nicht). Das haben wir aber schon vor Monaten gesehen: $\begin{eqnarray} A=1 \end{eqnarray}$ . Alle Vorausetzungen sind erfüllt, also darf man auch gnaden- und bedenkenlos unterm Integralzeichen differenzieren.
10.09.2011, 17:16	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke Dir ganz herzlich für diesen ausführlichen Beitrag! Ich lese mir ihn jetzt in aller Ruhe durch und frage evtl. nach.
10.09.2011, 17:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, ich habe alles verstanden! Super! Ich werde mir diesen Satz merken für andere Aufgaben, in denen es um uneigentliche Parameterintegrale geht!! Hast Du auch so einen nützlichen Satz für eigentliche Parameterintegrale oder kann man da den obigen nehmen (nur eben ohne die Sachen mit der gleichmäßigen Konvergenz)?

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