Koordinatengleichung einer Ebene

12.03.2011, 14:57

Vladoo

Koordinatengleichung einer Ebene

Wunderschönen, guten Tag smile

Aufgabe:
[attach]18601[/attach]

Was ist mit Koordinatengleichung der Ebene gemeint?
Allgemein sieht die doch so aus:
y = mx + b

Die Ebenengleichung sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end {pmatrix} + r \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann man aus der Ebenengleichung die Koordinatengleichung darstellen?

Ich bedanke mich für jede Hilfe smile

12.03.2011, 15:07

Leopold

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Wenn du die Parameterform einer Ebene anschreibst, mußt du auch verschiedene Dinge verschieden benennen. Du kannst da nicht überall x,y,z schreiben.

Jetzt aber zur Koordinatenform. Die sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b \end{eqnarray*}$ (wobei links nicht alle Koeffizienten 0 sein dürfen)

Ein Punkt liegt genau dann auf der Ebene, wenn seine Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung erfüllen (Punktprobe).

Wenn die Ebene durch den Ursprung geht, dann muß $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ sein. Ansonsten kann man für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ wählen. Wenn wie hier die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gegeben sind, empfiehlt es sich, für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Schnittstellen anzusetzen. Mache das so und führe die Punkteprobe für die drei Schnittpunkte durch, um $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

siehe auch Achsenabschnittsform einer Ebene

12.03.2011, 15:24

Vladoo

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Danke, dass du dich gemeldet hast Leopold smile

Zitat:

Wenn du die Parameterform einer Ebene anschreibst, mußt du auch verschiedene Dinge verschieden benennen. Du kannst da nicht überall x,y,z schreiben.

Ok, tut mir Leid, ich weiß was du meinst und werde es beim nächsten mal beachten.

Schnittstellen bei a sind:
x1=2
x2=5
x3=3

Das kgV wäre 30.
Warum empfiehlt es sich das kgV für b zu nehmen?

Ansatt a1,a2,a3 nehme ich mal a,b und c.
a2 + b5 + c3 = 30

Ist das soweit richtig?

12.03.2011, 15:29

Leopold

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Du mußt die Koordinaten der Punkte einsetzen. Der Schnittpunkt mit der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse hat die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (2|0|0) \end{eqnarray*}$ . Entsprechend die anderen Punkte.

Und du brauchst nicht $\begin{eqnarray*} b=30 \end{eqnarray*}$ nehmen. Du kannst auch $\begin{eqnarray*} b=1{,}2345 \end{eqnarray*}$ nehmen. Das liegt daran, daß die Koordinatenform einer Ebene nicht eindeutig bestimmt ist, sondern mit einer beliebigen von 0 verschiedenen Zahl durchmultipliziert werden darf, ohne die Ebene zu ändern. Probiere es aus.

12.03.2011, 15:37

Vladoo

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Sx1: a2 + b0 + c0 = d
Sx2: a0 + b5 + c0 = d
Sx3: a0 + b0 + c3 = d

Ist das jetzt nicht das selbe, was ich gepostet hatte?
Da wo die 0 weg ist entfällt die Variable.

12.03.2011, 15:44

Leopold

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Und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ kannst du dir vorgeben. Vorschlag: $\begin{eqnarray*} d=30 \end{eqnarray*}$ . Somit kannst du $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ berechnen.

12.03.2011, 15:52

Vladoo

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Sx1: a2 + b0 + c0 = 30
a = 15

Sx2: a0 + b5 + c0 = 30
b = 6

Sx3: a0 + b0 + c3 = 30
c = 10

Was ist eignt. die Definition von d bzw. was ist d?
Ich weiß nur, dass wenn d = 0 ist die Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft.

Nun habe ich alle Werte von a-d und von x1-x3, wie geht es jetzt weiter?

Dankeschön Leopold.

12.03.2011, 15:53

Leopold

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Du hast jetzt die Ebenengleichung. Schreibe sie hin.

12.03.2011, 15:57

Vladoo

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15x1 + 6x2 + 10x3 = d

So?

12.03.2011, 15:59

Leopold

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d noch

12.03.2011, 16:06

Vladoo

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15x1 + 6x2 + 10x3 = 30

und für b) :

x1 = 1
x2 = 4
x3 = -3

Sx1: a1 + b0 + c0 = 12
a = 12

Sx2: a0 + b4 + c0 = 12
b = 3

Sx3: a0 + b0 + c(-3) = 12
c = -4

x1 + 3x2 - 3x3 = 12

Und was ist d nun?

12.03.2011, 16:14

Leopold

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Was machst du denn bei b) gegen Ende? Setze die richtigen Koeffizienten da hin.

12.03.2011, 16:21

Vladoo

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12x1 + 3x2 - 4x3 = 12

So besser?

12.03.2011, 16:23

Leopold

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Viel besser. Und diese Gleichung kannst du jetzt mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl durchmultiplizieren. Auch die neue Gleichung beschreibt dieselbe Ebene.

12.03.2011, 16:28

Vladoo

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Okey, vielen Dank Leopold smile

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