Differentialrechnung - Tangentensteigung

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Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung - Tangentensteigung
Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

1.

a) Ermittle den Wert der Tangensteigung in den Punkten P(x|16) und Q(x|16)

Ich habe dann erstmal für f(x) 16 eingesetzt





Jetzt weiß ich irgendwie nicht weiter. Könnte man hier auch die PQ-Formel verwenden, um x zu bestimmen? Dann würde -4 rauskommen. Ein weiteres Problem ist für mich auch, dass ich 2 mal y=16 habe. Und wann muss ich die Ableitung machen?


Danke schonmal

Valentin

edit:
Ich habe noch vergessen den x-en Indizes zu verpassen. Also für P ist es x_p und für Q x_q
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, tatsächlich solltest du die Ableitung erst mal bestimmen. Die pq-Formel solltest du benutzen, um deine Gleichung zu lösen. Dort kommen zwei Ergebnisse raus, das sagt dir bereits die Aufgabe. -4 stimmt dort nicht. Das ist eine Nullstelle, vergiss die 16 auf der rechten Seite nicht.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke.


Dann wäre das

f'(x)=1/2x+2

und jetzt die pq-Formel anwenden?

dann hab ich für x_2=-1.64194109070751
und für x_1=1.14194109070751


Oder? Hmhh.

edit:

ich darf doch nich 16 für f'(x) einsetzen... Wie muss ich da anfangen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. unglücklich Du sollst die Gleichung

mit der pq-Formel lösen. Dazu musst du sie erst auf Normalform bringen (oder die sog. Mitternachtsformel nutzen).

Deine Ableitung stimm übrigens, die brauchen wir später. Was gibt sie eigentlich an?
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steigung an einem bestimmten Punkt bzw. die Tangentensteigung gibt sie an.

Okay,

16=1/4x^2+2x+4 |*4
64=x^2+8x+16
?

Ich muss doch die Voraussetzung y=0 haben, um die PQ-Formel anzuwenden oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Um das 1/4 vor dem x² wegzubekommen, musst du mit 4 malnehmen, nicht durch 4 dividieren. Als Lösung kommen dort "schöne" Zahlen heraus.
 
 
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialrechnung - Tangentensteigung
So, habe nen paar Fehler gemacht. So müsste es stimmen:

...
0=x^2+8x-56

in die PQ Formel eingesetzt:

x_1=-4+8.48528137423857 =4.48528137423857
x_2=-4-8.48528137423857 = -12.48528137423857

dann

für p: f'(x)=1/2*4.48528137423857+2 = 4.242640687119285
für q: f'(x)=1/2*-12.48528137423857+2 = -4.242640687119285

Das wars?!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Als Lösung kommen dort "schöne" Zahlen heraus.


Deine Zahlen sind ja alles andere als schön. Sie stimmen fast, aber ohne deinen Rechenweg werde ich deinen Fehler nicht finden können. Tipp, schon mal im Voraus: Nutze den Formeleditor.

Edit: Die -56 hinten stimmt nicht.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe. Ich hätte aber noch zwei Fragen:

Undzwar

1. In welchem Punkt beträgt der Wert der Tangentensteigung 0.5?

Dafür habe ich so gerechnet:

1/2=1/2x+2 |*2
1=x+2 |-2
-1=x

f(x)=1/4x^2+2x+4
= 1/4*(-1)^2+2*(-1)+4
= 2,25

Also im Punkt W(-1|2,25)

?

dann noch eine Teilaufgabe:

2. Stelle die Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen f im Punkt R(-2|y) auf.

Dort weiß ich nicht, wie ich ansetzen muss.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, ich habe Fehler gemacht...

Richtig ist:

{-12;4}

bei 0=x^2+8x-48

Dann stimmt es..

Ich habe falsch subtrahiert...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Valentin99
1/2=1/2x+2 |*2
1=x+2 |-2
-1=x


Denk dran: Alles (!) muss mal 2 genommen werden, also auch die 2 hinten. Probe machen hilft dir auch, das Ergebnis selbst überprüfen zu können.


Zitat:
Original von Valentin99
2. Stelle die Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen f im Punkt R(-2|y) auf.


Ist doch fast so wie in der ersten Aufgabe. Steigung in x = -2 ist f'(-2). Das dann in die allgemeine Form für eine Gerade einsetzen und noch dazu den Punkt -> ergibt das gesuchte n.

Zu deinem letzten Post: Freude
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. Dann habe ich bei 1. den Punkt W(-3|0,25)
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich auch. smile
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Steigung in x = -2 ist f'(-2). Das dann in die allgemeine Form für eine Gerade einsetzen und noch dazu den Punkt -> ergibt das gesuchte n.


Wieso für eine Gerade?

y=mx+b ? Und wie soll ich das einsetzen? Brauch ich nicht mehr die vorgegebene Funktion f(x)=1/4x^2+2x+4?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tangente in einem Punkt ist eine Gerade. Die hat die Form y = m*x + b (oder hinten n, gibt verschiedene Bezeichnungen). m ist die Steigung der Geraden, die wir (wie du ja auch gesagt hast) durch die Ableitung berechnen können.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann habe ich also f'(-2)=1

und das einsetzen:

y=1x+b ? Wo bekomme ich denn noch den Wert von y her?

edit: 1=1*(-2)+b
b=3

Tangentengleichung:
y=x+3

richtig?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zeichnen wir das doch mal:


Schaut doch gut aus! Freude
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern Danke, dass du dir für mich Zeit genommen hast. Du warst mir eine große Hilfe smile
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, dass es geholfen hat. Meld dich, wenn's wieder was gibt. Wink
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Das werde ich bestimmt Augenzwinkern

Schönes Wochenende noch!
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage hätte ich noch, wie kann ich die Mitternachtsformel anwenden in diesem Fall? Also ohne die Funktion auf die Normalform zu bringen?

Ich meine:



?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzige, was du beachten musst, ist, dass auf der einen Seite eine Null steht. Du musst also noch 16 subtrahieren und kannst dann die Mitternachtsformel anwenden.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke Augenzwinkern

Ich wüsste gerne noch, wieso ich oben bei y 1 eingesetzt habe?
Ich hab erst später darüber nachgedacht, obwohl es ja richtig ist.
Gegeben ist doch nur f'(-2)=1
Dann habe ich ja noch nicht y oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das y musst du erst berechnen. f(-2) = 1, das ist dir vielleicht nur entfallen. Korrekt war und ist es ja. Augenzwinkern
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber ist 1=y weil f'(-2)=1 ist? Und was ist m in y=mx+b ? Warum ist m auch 1?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja nicht schlecht, dass du das alles gestern hinbekommen hast. Augenzwinkern

Für eine Tangente ist m = f'(-2). Das kann man dann in y = mx+b einsetzen.

Und y = 1 gilt, weil f(-2) = 1 ist, nicht, weil f'(-2) = 1 ist. Das ist hier nur zufällig identisch.
Valentin99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke Augenzwinkern

Ich habe noch eine Frage zu diesen beiden Funktionen bzw. zu der Gleichung. Also, habe ich die Tangente an der Stelle x=2 richtig gezeichnet? Und wie muss ich dort das Steigungsdreieck zeichnen?

Und was sollte bei vermuteter Gleichung stehen?

Hier die Aufgaben:

http://www.abload.de/image.php?img=fotocq72.jpg


Danke schonmal Augenzwinkern
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