Gruppen und Körper - Notationsfrage

12.03.2011, 16:34

tigerbine

Gruppen und Körper - Notationsfrage

Hallo,

in der Gruppentheorie war für eine Gruppe G und eine Untergruppe U die Notation G/U für die Menge der Linksnebenklassen üblich so wie [G:U] für den Index der Untergruppe U in der Gruppe G.

Seien nun Kein Körper und E sein Erweiterungskörper. Dort stoße ich auf die Notation E/K für die Körpererweiterung und [E:K] für den Grad der Körpererweiterung.

Sind die ähnlichen Notationen nur Zufall?

Gerade für die Körpererweiterung finde ich in anderer Literatur auch $\begin{eqnarray*} K \subset E \end{eqnarray*}$ . Im Bosch steht, dass man die "/" Notation nur nimmt, wenn eine Verwechslung ausgeschlossen ist. Es ist also nur eine Notation?

Danke Wink

12.03.2011, 17:16

Math1986

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage
Nein, das sind im Allgemeinen zwei völlig verschiedene Konzepte.

Dieses Teilmengensymbol für eine Körpererweiterung zu verwenden finde ich auch etwas unglücklich, da nicht jede Obermenge ein Erweiterungskörper ist

12.03.2011, 17:21

tigerbine

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage
Wieso antwortest du dann mit "nein"? verwirrt

Mit Notation meine ich, dass es inhaltlich ja eben nicht konform sein muss. Man nutzt nur wieder diese Schreibweise mit "/", aber mit anderer Bedeutung. Wir haben mal wieder das Phänomen, uns gehen die Symbole aus? verwirrt

Gruß

12.03.2011, 17:21

zweiundvierzig

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage

Zitat:

Original von tigerbine
Gerade für die Körpererweiterung finde ich in anderer Literatur auch $\begin{eqnarray*} K \subset E \end{eqnarray*}$ . Im Bosch steht, dass man die "/" Notation nur nimmt, wenn eine Verwechslung ausgeschlossen ist. Es ist also nur eine Notation?

Genau. Eine Verwechslung ist nicht möglich, da "Faktorkörper" nicht existieren.

Bei $\begin{eqnarray*} E/K \end{eqnarray*}$ denkt man ja über " $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ als ein Objekt über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ". Ich weiß leider auch nicht, wie die Notation historisch entstanden ist. Aber sie lässt sich in einem bestimmten Sinn als Sprechweise in der Topologie wiedererkennen, wo man Familien von stetigen Abbildungen $\begin{eqnarray*} E_i \to B \end{eqnarray*}$ betrachtet. Hierbei denkt man sich $\begin{eqnarray*} E_i \end{eqnarray*}$ als "Räume über dem gemeinsamen Basisraum $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ". In der Kategorientheorie schreibt man die dazugehörige Kategorie als $\begin{eqnarray*} \mathbf{Top}/B \end{eqnarray*}$ ,

Also bedeutet "/" hier auch wieder "über", wenn auch inhaltlich in einem anderen Sinne. Aber ob das historisch oder anderweitig zusammenhängt, weiß ich nicht. smile

12.03.2011, 17:23

tigerbine

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage

Zitat:

Genau. Eine Verwechslung ist nicht möglich, da "Faktorkörper" nicht existieren.

Ok, danke euch beiden. Mit Zunge

Dann kann ich ja weiter lesen. Lesen2

12.03.2011, 17:27

zweiundvierzig

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage
Bitteschön! smile

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Genau. Eine Verwechslung ist nicht möglich, da "Faktorkörper" nicht existieren.

Ok, danke euch beiden. Mit Zunge

Dann kann ich ja weiter lesen. Lesen2

...und Dir überlegen, warum diese Aussage stimmt. Augenzwinkern

12.03.2011, 17:37

tigerbine

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RE: Gruppen und Körper - Notationsfrage

Zitat:

Original von zweiundvierzig
...und Dir überlegen, warum diese Aussage stimmt. Augenzwinkern

Also ich kenne Faktorringe (Ring R und Ideal U). Wir brauchen hier ja "+" und "*". Ich weiß nun nicht, wie ich ansetzen soll, dass es etwas nicht gibt, wenn ich ich nicht weiß, wie wir "/" dann verstehen wollen.

12.03.2011, 17:46

zweiundvierzig

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Angenommen, wir suchen etwas für Körper, was dort die gleichen universellen Eigenschaften erfüllt wie ein Faktorring für Ringe. Dann müsste dieser "Faktorkörper" insbesondere wieder ein Faktorring im bekannten Sinn sein. Die Frage ist also: Gibt es für einen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Ideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak{a} \subset K \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} K/\mathfrak{a} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist?

12.03.2011, 18:08

tigerbine

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Öhm,...

Also K ist ein Körper. Damit ist er ein einfacher Ring. Damit besitzt er nur die Ideal (0):=K0 und K. Wir haben also nur die zwei Fälle $\begin{eqnarray*} K/K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K/\{0\} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Dabei ist $\begin{eqnarray*} K/K=\{K\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |K/K|=1 \end{eqnarray*}$ Damit kann es kein Körper sein (Vereinbarung dass 0 und 1 verschieden sind). verwirrt

12.03.2011, 18:14

zweiundvierzig

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Ja, darauf wollte ich hinaus. smile

Da die Ideale eines Körpers "trivial" sind, ergibt es keinen Sinn, ringhtheoretisch nach ihnen zu faktorisieren.

12.03.2011, 18:15

tigerbine

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