Besondere Koordinatengleichung einer Ebene

12.03.2011, 16:35

Vladoo

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Besondere Koordinatengleichung einer Ebene

Guten Tag.

Aufgabe:
[attach]18607[/attach]

Ein Spurpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene im Raum mit einer Koordinatenachse, oder?

Hier ist nur ein Schnittpunkt mit der K.-Achse gegeben, wie soll ich dann die ganzen Variablen füllen?
ax1 + bx2 + cx3 = d ?

Danke.

12.03.2011, 16:46

Leopold

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Ist eine Ebene parallel zur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse, so ist der zugehörige Koeffizient $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , die Koordinatengleichung also von der Gestalt

$\begin{eqnarray*} bx_2 + cx_3 = d \end{eqnarray*}$

Entsprechendes gilt für die anderen Achsen. Und wie ist das nun mit der ersten Ebene?

12.03.2011, 16:48

Colt

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Du kannst auch erst eine Ebenengleichung in Parameterform aufstellen und diese dann in die andere Ebenengleichung überführen.

12.03.2011, 16:54

Vladoo

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@Leopold:
Gut bei Aufgabe b ist die Parallelität gegeben, aber bei Aufgabe a kann man doch nur raten oder?
Obwohl es so aussieht als wäre die Ebene parallel zur x3-Achse.

Ist der Spurkpunkt vielleicht ein Indiz?
Aber für was? Die Ebene kann den Punkt in verschiedenen Lagen schneiden.

@Colt
Wäre auch eine Idee, aber kannst du die genauen Werte dafür ablesen?

12.03.2011, 16:56

Colt

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Stürzvektor ist auf dem Presentierteller und die Richtungsvektoren kannst du über die parallelität ermitteln

12.03.2011, 16:59

Leopold

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Nun, es heißt in der Aufgabe ausdrücklich, daß die Ebene nur einen Spurpunkt besitzt. Und der liegt auf der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse. Somit kann die Ebene weder die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ - noch die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse schneiden, muß also zu beiden Achsen parallel sein.

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12.03.2011, 17:06

studYY

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edit.

12.03.2011, 17:08

Vladoo

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Aber muss die Ebene denn den Punkt senkrecht zur x2-Achse schneiden?
Die Ebene kann doch auch schräg liegen und somt nicht mehr parallel zu den beiden anderen Achsen sein?

12.03.2011, 17:19

Leopold

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Wenn sie schräg liegt, dann schneidet sie irgendwo die beiden anderen Achsen, zumindest eine, womit es weitere Spurpunkte gäbe. In der Aufgabe steht aber ...
Die Ebene steht also tatsächlich senkrecht auf der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse.

12.03.2011, 17:37

Vladoo

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Zitat:

Ist eine Ebene parallel zur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse, so ist der zugehörige Koeffizient $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , die Koordinatengleichung also von der Gestalt $\begin{eqnarray*} bx_2 + cx_3 = d \end{eqnarray*}$

Gibt es dafür auch eine eine logische Erklärung oder ist das zu kompliziert?

ax1 + bx2 + cx3 = d

b3 = d

Was kann ich hier für d einsetzen?
kgV:3?

12.03.2011, 17:44

Leopold

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Egal, was du für $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ansetzt! Nur nicht 0. Da du hinterher sowieso mit einer Zahl durchmultiplizieren darfst, hast du hier völlige Freiheit.

12.03.2011, 17:54

Vladoo

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b3 = 6
b = 2

x1 + 2x2 + x3 = 6

b)
Schnittpunkte:
x1 = 1
x2 = 5

a1 + b0 + c0 = 10
a = 10

a0 + b5 + c0 = 10
b = 2

c = 0

10x1 + 2x2 = 10

So?

12.03.2011, 17:58

Leopold

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Die Lösung der ersten Aufgabe stimmt nicht. Die Glieder $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ dürfen nicht vorkommen (ihr Koeffizient ist 0).

12.03.2011, 18:02

Vladoo

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Oh, pardon.
2x2 = 6

Kann mir vielleicht noch erklärt werden, wo sich das d der Koordinatengleichung in der Ebenengleichung wiederfindet?
Damit ist das d, den Klassenkammeraden erklären kann.

Danke für deine Hilfe Leopold.

12.03.2011, 18:04

Leopold

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Das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ hat keine spezielle Bedeutung. Interessanter wäre es, wenn du die Ebenengleichung vereinfachen würdest. Vielleicht entdeckst du dann etwas.

12.03.2011, 18:13

Vladoo

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Angenommen ich will diese Ebenengleichung in die Koordinatengleichung bringen:
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\4 \end {pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 5\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich x1, x2 und x3 so bestimmen:
x1 = 2 + s
x2 = 3 - s + t
x3 = 4 + 5s - t

Die Koordinantengleichung würde ich dann durch Addieren und Einsetzen der Gleichungen erhalten.
Das d würde dann den ursprünglichen Werten des Stützvektors entsprechen.

Oder wolltest du auf etwas anderes hinaus?

12.03.2011, 18:17

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 2x_2 = 6 \ \ \Leftrightarrow \ \ x_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege, was die letzte Gleichung aussagt. Ganz anschaulich: Gib Punkte an, also drei Koordinaten, die diese Gleichung erfüllen.

12.03.2011, 18:28

Vladoo

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Sie sagt aus das x2 3 sein muss und somit jede x2 Koordinate eines Punktes 3 sein muss, damit die Gleichung erfüllt wird.

P(1|3|4)
Q(x1|3|x3)

12.03.2011, 18:38

Leopold

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Genau das sagt sie.
Wenn man also solch einen Punkt erreichen will, geht man vom Ursprung 3 Einheiten in $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Richtung, dann irgendwie in $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Richtung und irgendwie in $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Richtung. Auf diese Weise erreicht man genau die Punkte des Raumes, die auf einer zur $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse, also zur $\begin{eqnarray*} x_1x_3 \end{eqnarray*}$ -Ebene parallelen Ebene liegen, die die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Achse bei 3 schneidet.

Du hättest dir auch umgekehrt von der Zeichnung her klarmachen können: Alle Punkte der Ebene haben die $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Koordinate 3, während die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ - und die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Koordinaten beliebig sind. Die Bedingung für alle Punkte ist also

$\begin{eqnarray*} x_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Und damit ist das die Gleichung der Ebene. Sozusagen ohne jede Rechnung. Durch Nachdenken.

12.03.2011, 18:40

Vladoo

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Wow, super smile

smile

Dankeschön nochmal Leopold.

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